Suma de dos primos

Question

¿De cuántas maneras puede $10001$ como la suma de dos números primos?

Obviamente como el 10001 es impar, uno de los primos debe ser $2$ . Esto deja el segundo, debe ser primo como 9999, pero no lo es, por lo tanto hay $0$ formas de escribir $10001$ como la suma de dos primos.

Otra forma que agradecería si alguien me puede dar su opinión es:

Todos los primos $p$ puede expresarse como $p=6k+1$ o $p=6k-1$ donde $k$ es un número entero positivo. Si sumo dos primos distintos tengo tres posibilidades: $$p_1+p_2=(6k+1)+(6m+1)=6(k+m)+2$$ o $$p_1+p_2=(6k-1)+(6m+1)=6(k+m)$$ o $$p_1+p_2=(6k-1)+(6m-1)=6(k+m)-2$$

Desde $10001$ no es par, lo que satisfaría (1) o (3) y como no es múltiplo de 6, lo que satisfaría (2), no existe ningún primo que sume a $10001$ . ¿Es correcta esta lógica?

Answer 1

Los números primos 2 y 3 no se pueden expresar como 6k+1 o 6k-1 con k un número entero, así que tienes que comprobarlos, pero por lo demás tu solución está bien.

Answer 2

Supongamos que un número primo es $p$ y $p$ debe escribirse como suma de otros dos primos $q$ y $r$ . $$q+r=p\Leftrightarrow q=p-r$$ cuadrando ambos lados : $$q^2=p^2+r^2-2pr\Leftrightarrow q^2+2pr=p^2+r^2$$ Dado que todo primo mayor que $2$ es impar por lo tanto el lado izquierdo es impar mientras que el lado derecho es par(suma de dos primos).por lo tanto un primo no se puede escribir como suma de dos primos que no sean primos gemelos

No estaba respondiendo si la lógica era correcta o no, simplemente di mi propia prueba de ello.