$\frac{db^x}{dx}$ sin $e$

Question

Sin otra razón que el interés, estoy tratando de encontrar la derivada general de $b^x$ sin utilizar una definición de $e$ de un contexto diferente.

Siento que, cronológicamente en la historia, esta habría sido la primera vez $e$ habría aparecido en el contexto del cálculo.

Cada prueba de $\frac{db^x}{dx}$ Puedo encontrar utiliza el resultado de $\frac{de^x}{dx}=e^x$ . Pero en ese momento (y corríjanme si me equivoco), $e$ no se popularizó realmente. Se utilizaba (casi) disfrazado por Napier, sólo porque $(1-10^{-7})^{10^7} \approx e^{-1}$ . Cuando surgió Netwon, Bernoulli pudo haber estado buscando el valor de $\lim_{n\to \infty}(1+1/n)^n$ pero no veo ninguna motivación para considerar

$$\frac{d\left(\lim_{n\to \infty}(1+1/n)^n\right)^x}{dx}$$

antes del caso general $\frac{db^x}{dx}$ . Estoy seguro de que en el camino de encontrar el derivado de $b^x$ una clara motivación para definir $e$ pero me gustaría encontrar una prueba que comience asumiendo que no hay conocimiento previo de $e$ .

Si se parte de la definición, se llega rápidamente a

$$\frac{db^x}{dx} = b^x \lim_{h\to 0}{\frac{b^h-1}{h}}$$

pero desde aquí estoy atascado. ¿Cómo mostrar $\exists c \in \Re$ tal que

$$\lim_{x \to 0}\frac{c^x-1}{x}=1$$

¿proceder?

Answer 1

Me gustaría sugerir una.

Recordemos la definición de logaritmo napieriano: Para todos los reales $y > 0$ definimos $$\log y = \lim_{n \to \infty +}n(y^{1/n} - 1)$$ .

Dejemos que $c > 0$ sea un número real. Entonces $$\log c = \lim_{n \to \infty +}n(c^{1/n} - 1) = \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}(c^{x} - 1) = \frac{d}{dx}c^{x} \mid_{x=0}.$$ Elija $c = e$ , qed.

Answer 2

\begin{align} \frac d {dx} b^x = \lim_{\Delta x\to0} \frac{\Delta b^x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{b^{x+\Delta x} - b^x}{\Delta x} = {} & \underbrace{ \lim_{\Delta x\to0} \left( b^x \frac{b^{\Delta x} - 1}{\Delta x} \right) = b^x \lim_{\Delta x\to0} \frac{b^{\Delta x} - 1}{\Delta x} }_{\begin{array}{l} \large\text{This works because $b^x$ is “constant'' in} \\ \large\text{the sense that it doesn't change as $\Delta x$} \\ \large\text{approaches $0.$} \end{array}} \N - [15pt] = {} & \big( b^x \cdot \text{constante} \big) \qquad \text{Pero esta "constante''} \[2pt] es "constante" en el sentido de que no cambia. & \text{cambiar como $x$ cambios.} \N - Fin

Ahora supongamos que podemos demostrar que la "constante" al final es menor que $1$ si $b=2$ y mayor que $1$ si $b=4.$ Se esperaría entonces que para algún número $b$ entre $2$ y $4,$ la constante es $1,$ y ese número entre $2$ y $4$ es $e.$

Para $b=2,$ considera los puntos $(0,b^0) = (0,1)$ y $(1,b^1) = (1,2).$ La pendiente de la recta secante es $1$ y debe ser mayor que la pendiente de la línea tangente en $x=0$ ya que la curva se hace más pronunciada a medida que se avanza hacia la derecha.

Para $b=4,$ hacer lo mismo con $(-1/2,b^{-1/2}) = (-1/2,1/2)$ y $(0,b^0) = (0,1),$ y concluir que $4$ es demasiado grande para ser $e.$

Por último, escribir $b^x= e^{x\log_e b}$ y aplicando la regla de la cadena, se concluye que la "constante" es $\log_e b.$

Answer 3

Utilizando el análisis real -que no existía en la época de Napier- podríamos hablar del existencia de la constante en su $h \to 0$ límite:

$$ \frac{db^x}{dx} = b^x \lim_{h\to 0}{\frac{b^h-1}{h}}$$

Observe que $h$ es un número muy pequeño y su ecuación sugiere para alguna constante $c$ :

$$ b^h \approx 1 + hc$$

¿Qué ocurre cuando multiplicamos dos de estos factores, utilizando lo que sabemos sobre la función exponencial?

$$ b^h \cdot b^{h'} \approx (1 + hc)(1+ h'c) = 1 + (h+h')c+o(h^2) \approx b^{h + h'}$$

Así conseguimos que se puedan sumar tipos de interés compuestos muy pequeños.

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Hmm... podríamos hacerlo al revés

$$ a^h \cdot b^h \approx (1 + h c_1)(1 + h c_2) \approx 1 + h(c_1 +c_2) + o (h^2) \approx (ab)^h $$

Finalmente $c_1 = \log a$ y $c_2 = \log b$ y estamos demostrando que $c_1 + c_2 = \log (ab)$ .

Con $0 = \log 1$ - probado mediante el establecimiento de $b=0$ Esta relación determina el logaritmo.

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btw ¿has mirado este ejemplo? Pruebas intuitivas de que $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n=e^x$