Demostrar que el coseno es uniformemente continuo

Question

Esto es lo que ya he hecho. No se me ocurre cómo seguir adelante

$$|\cos(x)-\cos(y)|=\left|-2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)\right|\leq\left|\frac{x+y}{2}\right||x-y|$$

¿Qué debo hacer ahora?

Answer 1

Pista: Cualquier función continua es uniformemente continua en un intervalo cerrado y acotado, por lo que $\cos$ es uniformemente continua en $[-2\pi,0]$ y $[0,2\pi]$ .

Answer 2

La función coseno es Lipschitz-continua porque su derivada está acotada. Esto se deduce del teorema del valor medio. Toda función continua de Lipschitz es uniformemente continua.

Posdata motivada por el comentario de Tom Oldfield: Una función $f$ es Lipschitz-continuo si existe algún número no negativo $m$ tal que para todo $x,y$ en el ámbito de $f$ tenemos $|f(x)-f(y)|\le m|x-y|$ . Esto es más fuerte que la continuidad uniforme, ya que toda función continua de Lipschitz es uniformemente continua, pero no toda función uniformemente continua es continua de Lipschitz. Un ejemplo de función uniformemente continua que no es Lipschitz-continua es $x\mapsto\sqrt{1-x^2}$ en el intervalo $[-1,1]$ . Es muy fácil demostrar que la continuidad de Lipschitz implica la continuidad uniforme.