Supongamos que $E \subset \mathbb R$ es compacto y no vacío. Probar $\sup (E)$, $\inf (E)\in E$.
intento: Supongamos $E$ es compacto, entonces $E$ es cerrado y acotado. Por lo tanto $\sup(E)$ $\inf (E)$ existen. deje $a = \sup(E)$, entonces no es una secuencia $x_n \in E$ tal que $x_n \to a$. Desde $E$ está cerrada,$a \in E$. Por lo tanto $\sup (E) \in E$.
Es esto correcto? Cualquier comentario realmente podría ayudar. Gracias.
La prueba es correcta. Dependiendo del rigor requerido, los siguientes intuición también puede pasar:
El supremum de un conjunto es siempre incluidos en el juego o es un punto límite de la serie. Dado un conjunto compacto, por definición, contiene toda su límite de puntos, debe contener su supremum. Similares para infimum.
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