El siguiente es un ejemplo tomado del libro de topología de Munkres: 
No entiendo por qué $X^{*}$ es homeomorfo a $S^{2}$ es es un hecho básico que no entiendo o es un ejemplo de algo más avanzado? más avanzado?
Además, no entiendo la figura 22.4, creo que un conjunto saturado está contenido en $\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}<1\}$ o contiene $S^{1}$ y no veo cómo se describe esto en la imagen, ¿puede alguien explicarlo?
Imagina que colocas un disco sobre una esfera de forma que el centro del disco está en el polo norte. A continuación, extiende el disco sobre la superficie de la esfera y pega el límite del disco en el polo sur. Esta es una forma de ver el homeomorfismo del que habla el libro.
Para construir tal homeomorfismo explícitamente, podemos utilizar coordenadas polares $(r, \theta)$ en $\mathbb R^2$ y coordenadas cilíndricas $(r, \theta, z)$ en $\mathbb R^3$ . Consideremos el mapa continuo $f : D^2 \to S^2$ dado por $$ (r, \theta) \mapsto \left(\sqrt{1 - (1 - 2r)^2}, \theta, 1 - 2r\right). $$
Dado que el límite de $D^2$ (correspondiente a $r = 1$ ) se mapea a un solo punto (el polo sur), se deduce que $f$ factores a través de un mapa $\overline f : X^* \to S^2$ , donde $X^*$ es $D^2$ con el límite identificado a un solo punto. Por las conocidas propiedades de los mapas cocientes, vemos que $\overline f$ es una biyección continua de un espacio compacto a un espacio de Hausdorff. Concluimos que es el homeomorfismo deseado.
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Para su último comentario, la mano izquierda de la figura 22.4 da dos ejemplos de conjuntos abiertos saturados, uno de los cuales está contenido en $\{(x,y):x^2+y^2<1\}$ y una que contiene $S^1$ Precisamente como usted dice.