Sierpinski (triángulo) para otros polígonos

Question

El triángulo de Sierpinski se puede "generar" mediante el algoritmo en el que se empieza en el triángulo, se elige un vértice al azar, se mueve la mitad de la distancia hacia él, se dibuja un punto y se repite la operación.

No pude encontrar nada sobre si hacer esto para otros polígonos produce un tipo de estructuras similares, así que lo probé y esto es lo que obtuve:

Después de estos sólo parece haber un pequeño agujero en el centro. Bueno, el cuadrado no es interesante. Pero, ¿qué pasa con los agujeros del pentágono y la estructura estelar que asoma en el hexágono? ¿Tienen algún interés?

Answer 1

Como señala Zach, tus fotos son imágenes de conjuntos autosimilares. Para el triángulo de Sierpinski y el cuadrado, el factor de escala de $1/2$ no es arbitraria, sino que se ha elegido de forma que las piezas individuales se toquen entre sí sin superponerse. Aunque los conjuntos autosimilares pueden tener solapamiento, tienden a ser más interesantes visualmente y son definitivamente más fáciles de analizar cuando no hay solapamiento. Para arreglar el escenario de "sólo tocarse" para otros polígonos, necesitamos un factor de escala más pequeño. Esto es lo que quiero decir para un pentágono regular y un hexágono regular:

Aquí están los fractales resultantes, si iteramos el procedimiento. He incluido también la versión septa y la versión octo.

Generalmente, este tipo de conjuntos se denominan poly-gaskets . Un ejercicio divertido es encontrar el factor de escala general para generar un polígono y la dimensión fractal resultante. Puedes encontrar una implementación en Observable:

https://observablehq.com/@mcmcclur/poly-gaskets

Answer 2

El triángulo de Sierpinski está relacionado consigo mismo, eso es lo que lo convierte en un fractal. Sin embargo, vamos a definir matemáticamente esta transformación de "similitud", una transformación que mapea el triángulo en sí mismo.

El triángulo de Sierpinski puede dividirse visualmente en tres triángulos más pequeños, cada uno de los cuales tiene la mitad de la longitud del lado original. Su forma también es muy similar a la de un triángulo equilátero. Expresando esto matemáticamente...

$$A=\begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} S_x \\ S_y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

$$B=\begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} S_x \\ S_y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1/2 \\ 0 \end{pmatrix}$$

$$C=\begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} S_x \\ S_y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1/4 \\ \sqrt 3/4 \end{pmatrix}$$

Suponiendo que entiendas la teoría de matrices, debería estar claro que la unión de las transformaciones A,B y C de $S$ (el triángulo) que tiene tanto $S_x$ (componentes x) y $S_y$ (componentes y) es S de nuevo. Ahora mira las ecuaciones con más detalle. Fíjate en que las partes que acaban de sumarse al total, son los vértices del triángulo medio. Por eso tu algoritmo funciona. Te sugiero que investigues a partir de aquí para saber si esta regla se generaliza o no a otras formas...

Answer 3

Si también variamos la forma de elegir el siguiente vértice hacia el que nos dirigimos, obtendremos diferentes patrones fractales (por ejemplo: no se puede elegir lo mismo dos veces seguidas, se debe elegir lo adyacente, etc.).

Ver: Juego del caos