El multiplicador de Lagrange no funciona

Question

Dada la función $f(x,y):=xy+x-y$ . Sea $D:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2\leq25\wedge x \geq 0\}$ . Encuentre el máximo y el mínimo absoluto de $f$ en $D$ .

Mi trabajo es el siguiente:

$\begin{array} & f_x(x,y)=y+1=0 & \qquad \qquad f_y(x,y)=x-1=0 \\ \Rightarrow y=-1 & \qquad \qquad \Rightarrow x=1 \end{array}$

$D(x,y)=\begin{vmatrix} f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y) \\ f_{xy}(x,y) & f_{yy}(x,y) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$

$D(x,y) = D(1,-1) < 0 \Rightarrow (1,-1)$ es un punto de silla de montar.

Además, sólo por interés, $f(1,-1)=1$

Para encontrar el máximo y el mínimo de $f$ con sujeción a $x^2+y^2=25$ Utilizaré un multiplicador de Lagrange.

$\nabla f(x,y) = \lambda \nabla g(x,y)$ donde $g(x,y)=x^2+y^2-25$

$\langle y+1, x-1 \rangle = \lambda \langle 2x, 2y \rangle$

$\left\{\begin{array}{llll} y+1=2\lambda x & \Rightarrow & y=2\lambda x -1 & (1) \\ x-1=2\lambda y & \Rightarrow & x=2\lambda y +1 & (2) \\ x^2+y^2=25 & & & (3) \end{array}\right.$

Si se introduce (1) en (2) y (2) en (1) se obtiene

$$x=\frac{1}{1+2\lambda} \qquad \text{and} \qquad y=-\frac{1}{1+2\lambda}\tag{4}$$ Donde $\lambda \neq \pm \frac12$

Si se introduce (4) en (3) se obtiene

$$\lambda = \frac{-5\pm \sqrt2}{10} \approx -0.64 \quad \text{or} \quad -0.36$$

Posteriormente,

$$x \approx \pm 3.54 \quad \text{and} \quad y \approx \mp 3.54$$

Tenga en cuenta que $x=-y$ . Así que,

$$f(3.54,-3.54) \approx -5.43 \quad \text{and} \quad f(-3.54,3.54) \approx -19.57$$

Según este cálculo, (-3,54, 3,54, -19,57) sería un punto de mínimo absoluto en el círculo $x^2+y^2=25$ . Pero $x\geq 0$ .

Hmm. Déjame intentar evaluar $f(0,5)$ . $$f(0,5)=-5 \nless f(3.54,-3.54) \approx -5.43$$ No. ¿Qué debo hacer ahora para encontrar el mínimo de una manera procedimentalmente correcta?

Tampoco puedo encontrar el máximo absoluto. $(1,-1,1)$ no es el máximo absoluto porque he comprobado que $(3.54, 3.54, 12.5)$ existe en $D$ . ¿Por qué mi cálculo con el multiplicador de Lagrange no me ha dado este punto?

Answer 1

Centremos nuestra atención en el límite de $D$ . De su sistema deducimos $$ (4\lambda^2-1)y=1-2\lambda, $$ y luego $x=-y$ . Esto nos da un único punto admisible $P_0$ cuyas coordenadas son $x=\frac{5}{\sqrt{2}}$ y $y=-\frac{5}{\sqrt{2}}$ . En este punto, $f(P_0)=-\frac{25}{2}+5 \sqrt{2} \approx -5.42893$ .

Ahora debemos recordar que el caso $4\lambda^2-1=0$ deben ser tratados por separado. Si $\lambda=1/2$ entonces los sistemas se convierten en $$ \begin{array}{ll} y+1=x \\ x-1 = y \\ x^2+y^2=25, \end{array} $$ que da $x=4$ (la raíz $x=-3$ no se puede aceptar), $y=3$ , $f(4,3)=13$ . Del mismo modo, para $\lambda=-1/2$ , $$ \begin{array}{ll} y+1=-x \\ x-1 = -y \\ x^2+y^2=25, \end{array} $$ y la misma solución.

Por último, en el segmento vertical $\{(0,y)\mid -5 \leq y \leq 5\}$ tenemos $g(x,y)=x=0$ como restricción y, por tanto, el sistema $$ \begin{array}{ll} y+1=\lambda \\ x-1 = 0 \\ x=0 \end{array} $$ y ninguna solución. Sin embargo, también debemos considerar los dos puntos singulares $(0,-5)$ y $(0,5)$ , donde $$ f(0,-5)=5, \quad f(0,5)=-5. $$ Para resumir, el punto $(5/\sqrt{2},-5/\sqrt{2})$ es el mínimo global, el punto $(4,3)$ es el máximo global de $f$ . Este es el gráfico de $x \mapsto f(x,\sqrt{25-x^2})$ :

Nota: . No creo que el método de los multiplicadores de Lagrange sea el mejor para aplicar. Es mucho mejor parametrizar la frontera por coordenadas polares $x=25 \cos \phi$ , $y=25\sin \phi$ , $-\pi/2 \leq \phi \leq \pi/2$ y para ver $f$ en el segmento vertical. Como alternativa, utilice la parametrización $y=\sqrt{25-x^2}$ para $0 \leq x$ .

Answer 2

No hay nada "malo" en tu uso de los multiplicadores de Lagrange, pero el método a menudo nos deja con un conjunto de ecuaciones que necesitan ser "manejadas de la manera correcta" para ser totalmente útiles. (No hay un método general para encontrar esta "forma correcta", ya que hay muchas formas en que el sistema de ecuaciones puede presentarnos una maraña algebraica. También ofrezco esto como un enfoque alternativo a la respuesta fina Siminore ya ha publicado).

La situación geométrica se muestra en la figura siguiente. Podemos tratar el problema como una búsqueda de puntos extremos en la superficie $ \ z \ = \ xy \ + \ x \ - \ y \ $ dentro de la región delimitada por el cilindro circular derecho $ \ x^2 \ + \ y^2 \ = \ 25 \ $ y el avión $ \ x = 0 \ $ o en esas superficies. Se indica el punto de la silla de montar que ha encontrado.

Si volvemos a sus ecuaciones (1) y (2) , podemos sumarlas para obtener

$$ 2 \lambda \ x \ - \ y \ - \ x \ + \ 2 \lambda \ y \ = \ 0 \ \ \Rightarrow \ \ ( \ 2 \lambda \ - \ 1 \ ) \ ( \ x \ + \ y \ ) \ = \ 0 \ \ , $$

de lo que se deduce que $ \ y \ = \ -x \ $ o $ \ \lambda \ = \ \frac{1}{2} \ $ , como Siminore ha demostrado.

[El enfoque básico presentado para este método en muchos textos introductorios funciona bien sólo para ciertos tipos de problemas. Sin embargo, es frecuente que se quiera evitar trabajar con expresiones racionales para el multiplicador o las coordenadas, ya que pueden oscurecer la forma de obtener las soluciones del sistema de ecuaciones de Lagrange].

Para la primera ecuación, ya que $ \ x \ $ está restringido a ser no negativo, la única solución se encuentra en el cuarto cuadrante, dando el punto $ \ ( \ \frac{5 \sqrt{2}}{2} \ , \ -\frac{5 \sqrt{2}}{2} \ ) $ y el valor de la función $ \ x \ (-x) \ + \ x \ - \ (-x) \ = \ 2x \ - \ x^2 \ = \ 5 \sqrt{2} \ - \ \frac{25}{2} \ \approx \ -5.43 \ $ . Aplicando el valor de $ \ \lambda \ $ en el segundo caso a sus ecuaciones (1) y (2) conduce a la ecuación (redundante) $ \ y \ = \ x \ - \ 1 \ $ . Insertando esto en la ecuación del cilindro limitador obtenemos

$$ x^2 \ + \ (x - 1)^2 \ = \ 25 \ \ \Rightarrow \ \ 2 \ (x + 3) \ (x - 4) \ = \ 0 \ \ , $$

de la que descartamos la solución negativa. El segundo punto de las ecuaciones de Lagrange es entonces $ \ (4, \ 4-1 = 3) \ $ con el valor de la función asociada $ \ x \ (x - 1) \ + \ x \ - \ (x - 1) \ = \ x^2 \ - \ x \ + \ 1 \ = \ 16 \ - \ 4 \ + \ 1 \ = \ 13 \ $ .

En el gráfico siguiente, vemos que las curvas de nivel $ \ xy \ + \ x \ - \ y \ = \ 5 \sqrt{2} \ - \ \frac{25}{2} \ $ (marcado en rojo) y $ \ xy \ + \ x \ - \ y \ = \ 13 \ $ (en verde) entran en contacto con el círculo de restricción en los puntos tangentes, como se espera que haga el método del multiplicador de Lagrange. Sin embargo, también podemos observar que las curvas de nivel, que son hipérbolas "rotadas", se no contacto con la línea de restricción $ \ x = 0 \ $ tangencialmente, por lo que no se garantiza que el método nos diga algo útil. (De hecho, las líneas $ \ y \ = \ -x \ $ y $ \ y \ = \ x - 1 \ $ se cruzan $ \ x = 0 \ $ pero veremos momentáneamente que los puntos de intersección no son significativos).

Para comprobar la existencia de extremos en $ \ x = 0 \ $ podemos observar simplemente que nuestra función se reduce a $ \ f(0, y) \ = \ -y \ $ por lo que los extremos se encuentran en los "vértices" de la frontera semicircular. Estos valores de la función son $ \ f(0, 5) \ = \ -5 \ $ y $ \ f(0, -5) \ = \ +5 \ $ ambos son menos "extremos" que los puntos que ya hemos encontrado, por lo que los puntos tangentes descritos anteriormente son los extremos absolutos en $ \ D \ \cup \ \partial D \ $ .