Considere la siguiente: Para un grupo de $G$ con identidad $e$, definir $s: G \to \mathbb{N} \cup \{ \infty \}$ $s(g) = \min \{ k \in \mathbb{N} : g^{k} = e \}$ donde $ \min \emptyset = \infty$. Por otra parte, vamos a $\Theta(G) = \sup \{ s(g) : g \in G \}$. Consulte $G$ delimitada si existe $N \in \mathbb{N}$ tal que $g^{N} = e$ todos los $g \in G$.
Vemos que $G$ está delimitado iff $\Theta(G) < \infty$. Si $\Theta(G) $ es finito, entonces $g^{\Theta(G) !} = e$; si $\Theta(G) = \infty$, entonces para cada a $N$ existe $g \in G$ que $s(g) > N$, lo $g^{N} \neq e$.
Por otra parte, cualquier grupo de orden $n$ está acotada. Para ver esto, la demanda es el hecho de que $s(g) \leq n$ todos los $g \in G$. Para ver esto, consideremos el conjunto $ \{ g, g^{2}, \ldots, g^{n + 1} \}$. Por encasillar, no existe $1 \leq i < j \leq n + 1$ tal que $g^{i} = g^{j}$, lo $g^{j - i} = e$; a continuación,$s(g) \leq j - i \leq n$. Por lo tanto $\Theta(G) \leq n$.
Inicialmente, me conjeturó que fue delimitada fuera de ella era finito, teniendo en cuenta el grupo multiplicativo $\{ e^{iq} : q \in \mathbb{Q} \}$ donde $s(g)$ es siempre finito, pero ilimitado. Luego lo descarté considerando $G = \mathbb{Z}_{2}^{I}$ donde $I$ es un infinito conjunto de indexación y $\Theta(G) = 2$. He revisado esta a la afirmación de que un grupo de $G$ es acotado si y si se puede escribir como un producto de $G = \prod_{i \in I} H_{i}$ de los grupos finitos para algunos el índice de establecer $I$ donde $\sup \{ \# H_{i} : i \in I \} < \infty$. Creo que sé cómo mostrar cualquier factorización de $G$ en grupos finitos podría satisfacer a esto, pero no puedo demostrar que cada delimitada grupo es factorable en grupos finitos, es decir, no se puede mostrar no existe un acotado grupo que no puede ser expresado como producto de grupos finitos.
Es esto correcto? Si es así, ¿cómo podría yo demostrar? Si no, hay un contraejemplo? Gracias.
