Haciendo una primaria de operación de filas en la matriz $A$ puede ser visto como multiplicar $A$ por un adecuado invertible la matriz, se $E_1$. Así que todo el proceso se lleva a escribir
$$
U=E_{k}\dots E_{2}E_{1}
$$
donde $E_j$ $(j=1,2,\dots,k)$ corresponden a la primaria de la fila operación se realizó y la $U$ es una fila reducida de la matriz (por ejemplo, la fila reducido de forma escalonada). Desde cada una de las $E_j$ es invertible, podemos escribir
$$
A=FU
$$
donde $F=E_1^{-1}E_2^{-1}\dots E_{k}^{-1}$ y, si uno realiza todos los de la fila de los swaps en el inicio, la matriz $F$ puede ser escrito incluso sin ningún tipo de cálculo.
Por supuesto, no hay ninguna operación de este tipo, cambia la forma de las matrices que, sucesivamente, se obtiene y el final de la matriz $U$ va a tener cero o más "cero filas" en la parte inferior.
En este punto nos puede quitar los "cero filas" de $U$; en el caso de $l$ de ellos, también podemos quitar el $l$ más a la derecha de las columnas de a $F$. Llamar a $F_0$ $U_0$ las matrices así obtenido todavía tenemos
$$
A=F_0U_0
$$
y tanto $F_0$ $U_0$ tienen su rango equivalente al rango de $A$. Esto se llama un rango completo de descomposición, porque esas matrices tienen el máximo rango, posiblemente, tienen, por su forma; dicen que $A$ $m\times n$ y su rango es $r$. A continuación, $F_0$ $m\times r$ $(r\le m)$ y $U_0$ $r\times n$ ($r\le n$).
En particular $F_0^HF_0$ ($H$ denota la hermitian la transposición, la simple transposición cuando las matrices son más de los reales) es $r\times r$ invertible y
$$
(F_0^HF_0)^{-1}F_0^H
$$
no sólo está a la izquierda de la inversa de $F_0$ pero es su Moore-Penrose pseudoinverse $F_0^+$. Del mismo modo, $U_0U_0^H$ es invertible y $U_0^H(U_0U_0^H)^{-1}=U_0^+$. Además de Moore-Penrose pseudoinverse de $A$ es
$$
A^+=U_0^+F_0^+
$$
De hecho, toda vez que nos encontramos con un completo rango de descomposición $A=BC$, podemos escribir $A^+=C^+B^+$ (y el pseudoinverse de $B$ $C$ son calculadas como arriba).
El de Moore-Penrose pseudoinverse es útil en la computación de los mínimos cuadrados soluciones de $Ax=b$ y este es un algoritmo eficiente para encontrar.
