¿Es una matriz semidefinite positiva siempre no negativo?

Question

Estoy tratando de conseguir algo de intuición detrás del significado de un resultado positivo semidefinite de la matriz, de la cual aprendí hace mucho tiempo en la licenciatura, pero claramente no internalizar adecuadamente.

Como yo lo entiendo, una matriz simétrica $M \in \textbf{R}^{n~\times~n}$ es positivo semidefinite iff $z^TMz \ge 0$, $\forall z \in \textbf{R}^n$. Tenga en cuenta que me gustaría utilizar esta definición particular, no uno más general que involucra a los números complejos. Como tal, $z^TMz \in \textbf{R}$.

Esta definición tiene sentido para mí, y esta pregunta aclaró más, pero entonces yo estaba leyendo Boyd del libro de texto y a ser confundido por una relación de definición se explica en $\S$3.1.4, lo que implica que la matriz Hessiana $\textbf{H}$ de la función $f$ es positivo semidefinite si $\textbf{H} \succcurlyeq 0$, donde el $"\succcurlyeq"$ símbolo hace referencia a una de las componentes de la desigualdad entre las matrices.

Por lo tanto, puede positivos semidefinite de la matriz contienen anotaciones negativas?

EDIT: Esta pregunta resultó ser una tontería, pero si usted tiene esta pregunta y estoy oxidado con el álgebra lineal como yo, este post puede ser útil.

Answer 1

¿Puede contener una matriz semidefinite positiva elementos negativos? Si por elementos, te refieres a las entradas, entonces sí, $$\pmatrix{2&-1\\-1&2}$ $ es positiva definida.

Answer 2

El símbolo $\succeq$ realmente no denota las componentes de la desigualdad de las matrices en ese libro. Si $A$ $B$ son matrices simétricas, a continuación, $A \succeq B$ $A-B$ es positivo semidefinite. Tal vez confusamente, si $x$ $y$ son vectores en lugar de matrices, entonces en ese caso $x \succeq y$ significa que cada componente de $x$ es mayor que o igual a la componente correspondiente de $y$.

(Como el Señor de Tiburón el Desconocido se ha mencionado, una positiva semidefinite matriz puede tener algunas anotaciones negativas.)

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Aquí hay un par de detalles más. En la p. 43, Boyd y Vandenberghe introducir la notación $x \preceq_K y$ (donde $K$ es un buen cono) significa que $y - x \in K$. Si $K$ es no negativo orthant, a continuación, $x \preceq_K y$ significa que $y - x$ es en el no negativo orthant, o en otras palabras, que el $y_i \geq x_i$ todos los $i$. Si $K$ es el positivo semidefinite cono, a continuación, $A \preceq_K B$ significa que $B - A$ pertenece a la positiva semidefinite cono, o en otras palabras, que el $B - A$ es positivo semidefinite.

El libro pasa a estado

El nonstrict y estricto parcial órdenes asociadas con la no negativo orthant surgir con tanta frecuencia que dejamos caer el subíndice $\mathbb R^n_+$; se entiende cuando el símbolo $\preceq$ o $\prec$ aparece entre los vectores.

En relación con el caso donde $K$ es el positivo semidefinite cono, el libro comentarios

Aquí, también, el orden parcial surge con tanta frecuencia que dejamos caer el subíndice.