Soy un no-matemático que se auto-estudio de las matemáticas. Aunque estoy muy interesado en las matemáticas, mi principal objetivo es la aplicación de las matemáticas en la física teórica. El problema es que cuando he leído libros de matemáticas, no puedo ver un camino claro para aplicar estos matemáticas en una concreta configuración. Quiero aplicar mayores de matemáticas en mi estudio de la física teórica (no física matemática). No estoy buscando para poner física en una rigurosa base (e.g axiomático teoría de campo). Quiero usar las matemáticas (por ejemplo, la categoría de la teoría y la geometría algebraica) con el fin de descubrir nuevas maneras de pensar acerca de la física, la generalización de conceptos y calcular cosas. Soy completamente autodidacta en matemáticas. Debo leer la matemática pura libros de texto destinados a los matemáticos? ¿Cuál es tu consejo sobre esto?
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Mientras que el estudio de la física como un estudiante de posgrado, tomé un curso en la Universidad de Waterloo por Achim Kempf titulado algo así como Matemáticas Avanzadas para la Física Cuántica. Fue una extraordinaria introducción a las matemáticas puras para los físicos. Por ejemplo, en ese supuesto, se demostró que por tomar el corchete de Poisson (utilizado en Hamiltoniana de la mecánica) y la aplicación de un tipo específico de la no-conmutatividad en los elementos, se obtendrá de la Mecánica Cuántica. Este fue Paul Dirac del descubrimiento. Después de tomar su curso salí de la física y entró en la escuela de posgrado en matemática pura.
(Yo no creo que él publicó un libro o apuntes de clase, por desgracia, aunque yo sólo le enviará por correo electrónico.)
En la transición de la física a las matemáticas, me enteré de que el enfoque de las matemáticas es diferente en un ajuste puro que en una configuración física. Los matemáticos definir y probar de todo. Nada se deja implícita o explícitamente. Hay una cantidad increíble de claridad. Incluso en la física teórica, he encontrado que hay una gran cantidad de mano saludando y mal definidos declaraciones y la falta de rigor (que hilarantemente me causó una gran cantidad de ansiedad). En general, sin embargo, los Matemáticos se centra en comprender y demostrar las relaciones entre las abstracciones, mientras que los físicos están más interesados en el uso de estas abstracciones como herramientas. Por lo tanto, el enfoque es muy diferente: los matemáticos no me importa lo que la aplicación, es decir, que sólo se quiere comprender el objeto bajo consideración.
Sin embargo, para un físico teórico que buscan obtener una buena base en matemáticas, usted quiere tener el siguiente núcleo de los conceptos matemáticos, que proporcionan una base para explorar todos los caminos:
- Álgebra Lineal
- El Análisis Funcional
- Topología
Pero la lista real es algo así como:
- La Teoría De Conjuntos
- Grupo y el Anillo de la Teoría de la
- Álgebra Lineal
- Análisis Real
- Topología
- El Análisis Funcional
- Teoría De La Medida
- Álgebra De Operadores
Conjunto, Grupo, y el Anillo de la teoría son ampliamente utilizados en la física, especialmente en Hamiltoniana de la mecánica (véase el Corchete de Poisson). Análisis Real y Álgebra Lineal se necesitan como base para el Análisis Funcional. El Análisis funcional puede ser descrito como una extensión o un Anillo de matrimonio de la Teoría, la Teoría de Grupo, Álgebra Lineal y Análisis Real. Por lo tanto, muchos de los conceptos en el análisis funcional se extienden o se utiliza directamente de Análisis Real y Álgebra Lineal. Teoría de la medida es importante para la teoría de la integración, que se utiliza ampliamente en física aplicada y matemáticas, la teoría de la probabilidad (utilizado en la mecánica cuántica), física de la materia condensada, física estadística, etc.
Topología y álgebra de operadores se utilizan ampliamente en la avanzada de la mecánica cuántica y la Relatividad. Específicamente, la Geometría Algebraica es ampliamente estudiados en la Teoría de cuerdas, mientras que la Topología se utiliza ampliamente en la Relatividad General. Álgebras de operadores son un área importante para la comprensión avanzada de la Mecánica Cuántica (alguna vez escuché a alguien hablar de una Mentira Grupo antes?)
Algunos canónica de los libros de texto yo recomendaría:
- Álgebra lineal: Advanced Algebra Lineal por Steven Romano
- Análisis Real: Análisis Real por H. L. Royden
- Análisis funcional: Un Curso de Análisis Funcional por Juan B. Conway
- Teoría de la medida: Teoría de la Medida por Donald L. Cohn
Esas son algunas decente libros de texto. Yo diría: darte dos años para digerir ese material. No se precipite. Recuerde: la matemática es acerca de las definiciones y de las pruebas. No hay que esperar a ver "aplicaciones" en cualquiera de esos libros. Acaba de entender que los conceptos son necesarios en física avanzada.
Desafortunadamente, sin embargo, no sé de ningún libro de texto que forma un puente directo entre los dos. Si Achim Kempf había publicado sus apuntes de clase, los que puede haber funcionado, ya que, esencialmente, estaba haciendo justo eso.
Buena suerte!
Primero de todo, os recomiendo un gran dos tomos del libro de R. Courant y D. Hilbert Métodos de la Física Matemática, vol.1 (álgebra lineal, la serie de expansiones, ecuaciones integrales, cálculo de variaciones). vol.2 (ecuaciones diferenciales parciales) - el mejor libro escrito sobre métodos matemáticos de la física, incomparable a la de la mayoría de los "modernos" libros sobre el tema. Comprende la (amplia) base más los intereses. Aunque estos volúmenes son muy antiguos que siguen siendo cruciales si desea aplicar las matemáticas en la física teórica.
A punto de salir más reciente de los libros que vamos a mencionar (un poco más de 30 años de edad, pero muchas veces editado y revisado ) sobre el gran libro por tres mujeres Yvonne Choquet-Bruhat, Cécile DeWitt-Morette, Margaret Dillard-Bleick : Análisis, Colectores y la Física. Existe también el segundo volumen. Y. Choquet-Bruhat escribió (2009) también la Relatividad General y las Ecuaciones de Einstein. Durante más de 50 años que contribuyeron a un análisis matemático de la teoría de Einstein, especialmente para el problema de Cauchy.
Muy bien escrito (3 volúmenes) libro principalmente en la geometría : Geometría Moderna--métodos y Aplicaciones de B. Dubrovin, A. Fomenko, S. P. Novikov (los Campos premio 1970). El libro cubre los temas principales de la geometría (tensores, colectores, paquetes, cálculo de variaciones) con muchas referencias a la física ( Yang-Mills, las ecuaciones de Einstein, etc.).
Un libro muy interesante profundamente debatir cuestiones sobre cálculo de variaciones es El Principio de la Acción y de las Ecuaciones Diferenciales Parciales por Demetrios Christodoulou. Puede ser difícil de leer, pero es realmente muy gratificante. Es posible que abra sus ojos en los principios variacionales y su importancia fundamental en la física teórica moderna.
Estas son las primeras palabras en un hermoso artículo Sobre la enseñanza de las matemáticas por un eminente mathematican V. I. Arnold : La matemática es una parte de la física. La física es una ciencia experimental, una parte de la ciencia natural. Las matemáticas es la parte de la física que los experimentos son baratos. La identidad de Jacobi (que obliga a las alturas de un triángulo a la cruz en un punto) es un hecho experimental de la misma manera como que la Tierra es redonda (que es, homeomórficos a una pelota). Pero puede ser descubierto con menos gastos.
No importa si usted está de acuerdo con él o no , si es correcto o no. Estas palabras dicen por sí mismos sobre la gran importancia de las relaciones íntimas entre la física y las matemáticas. Es muy recomendable leer Arnold otro artículo sobre el tema de las Matemáticas y de la física: la madre y la hija o hermanas?
No me gustaría distinguir la matemática y la física teórica, es más bien una buena o mala la física teórica. Así, podemos decir que Einstein, Maxwell, Boltzmann, Dirac fueron los físicos teóricos, mientras Hilbert, Poincaré, Minkowski fueron los matemáticos, sin embargo todos ellos tuvieron su impacto muy importante en la física moderna. Hoy en día la física teórica parece estar cerca puramente conceptos matemáticos, siendo más bien lejos de la evidencia experimental. Por desgracia, él todavía puede estar lejos de La Carretera a la Realidad. Por cierto Roger Penrose comenzó su carrera científica en la geometría algebraica y la próxima se hizo una gran contribución a la física matemática, en especial de la relatividad general.
Sería difícil distinguir las matemáticas y la física teórica hablando de la Relatividad General, sobre todo no es lo que se llama Matemática de la Relatividad de einstein sobre los resultados exactos en el análisis de las ecuaciones de Einstein. Uno podría decir que la gente en matemáticas de la relatividad general son matemáticos trabajando en un lugar físicamente teoría interesante, y es verdad, pero por otro lado hacen cosas realmente interesantes también para los físicos experimentales. Una de las principales causas de la Matemática de la Relatividad S. Klainerman escribió un gran artículo de la PDE como un único Tema donde discutir los principales temas de la investigación en ecuaciones diferenciales parciales incluyó muchos interesantes observaciones sobre las relaciones entre las matemáticas y la física. Hay numerosas referencias al tema.
Para concluir me gustaría hacer referencia a uno de los más grandes matemáticos del siglo XX - Hermann Weyl (D. Hilbert del estudiante). En los albores de la teoría de Einstein de la gravedad, escribió uno de los mejores libros sobre el tema (no muy técnico) Espacio Tiempo Materia.
Todos los libros y artículos son recomendado y sin duda útiles en un fascinante mundo de la física teórica y sus profundas conexiones con las matemáticas.
Hay algunos buenos libros que pueden ayudar a cerrar la brecha entre las matemáticas y la física teórica, aunque por desgracia no es suficiente.
Un libro que yo recomendaría es V. I. Arnold "Métodos Matemáticos de la Mecánica Clásica", Un texto que le da al lector un buen montón de intuición sobre el significado de los conceptos matemáticos de colectores, álgebras de lie, etc. Aunque el libro analiza la Mecánica Clásica, creo que este es un buen punto de partida, incluso para temas más avanzados como el QFT.
Matemáticas puras libros puede no ser la mejor cosa para usted. Su trabajo como físico teórico es hacer el seguimiento de las matemáticas que necesita. Las operaciones permitidas en los cálculos de seguir a partir de física más que los principios matemáticos. Una vez que el polvo se asiente, luego miras a tu alrededor y ver si los matemáticos han desarrollado herramientas que se ajustan a su cálculo.
Dicho esto, recomiendo el texto que explica la supersimetría para los matemáticos por Varadarajan. El pdf publicado en el sitio web de la autora a continuación contienen una buena cantidad de texto.
http://www.math.ucla.edu/~vsv/susy.html
(Tiene mucho más que la supersimetría)
Más allá de eso, hay muchos buenos libros. Sin embargo, lo que realmente necesitamos hacer es verter sobre trabajos recientes en el ArXiV.
Puede ser interesante para usted para mirar las matemáticas desbordamiento pregunta aquí: http://mathoverflow.net/questions/71909/book-on-mathematical-rigorous-string-theory/71919#71919
La respuesta que me dieron no apunta a un conjunto de notas de la conferencia que hablar de un tratamiento riguroso de la teoría cuántica de campos, desde el punto de vista matemático. Edward Witten ES un físico y matemático, por lo que sus notas son muy agradable de leer. El esfuerzo dedicado a pensar sobre las ideas básicas que aquí se presenta y su significado físico es, en mi opinión, no se desperdicia.
Redacción de notas sobre la Teoría de Campo se puede encontrar aquí: http://www.math.ias.edu/QFT/spring/index.html
El resto de las notas también están disponibles de forma gratuita (hay un enlace a las notas en un comentario en la anterior MO respuesta).
