¿Para qué sirve la desigualdad de los triángulos al definir las normas?
¿Es importante que se represente como una métrica de distancia?
¿Qué pasaría si dejáramos la condición suelta?
Respuestas
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chaiwalla
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Justin
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Si se define un mapa $\|{\cdot} \| : V\to \Bbb{R}$ que satisface todas las condiciones de ser una norma, pero somos menos estrictos con la desigualdad triangular tradicional; por ejemplo
$$\|x+y\|\leq K(\|x\|+\|y\|) $$ para algunos fijos $K>0,$ entonces lo llamamos cuasinorma. Hay mucho que considerar de tal definición, ver: http://www.ams.org/journals/bull/1945-51-01/S0002-9904-1945-08273-1/S0002-9904-1945-08273-1.pdf
Cuando $K$ no es fijo no hay una respuesta clara en cuanto a lo que su función en realidad te está hablando de $V$ . Lo deseable de la desigualdad del triángulo es que nos proporciona una métrica, es decir, si se define $d(x,y)=\|x-y\|,$ entonces se establece $(V,d)$ como un espacio métrico, como ya han señalado.
Otros han señalado otras condiciones, todas ellas supeditadas a la topología dotada por la métrica definida por la norma. Así pues, lo que ocurre al final cuando se define un mapa que ignora la desigualdad de los triángulos, es que se ignora la topología de la métrica y, en particular, se ignora cualquier aspecto geométrico de su espacio vectorial que pueda ser de utilidad. Además, los espacios métricos pueden reducir en gran medida la dificultad de muchos argumentos, e incluso pueden permitir el análisis (dependiendo del campo $V$ se define sobre).
