Integral de$e^{x^3+x^2-1}(3x^4+2x^3+2x)$

Question

Entiendo que esto se ve exactamente como un "Hacer los Deberes" un poco la pregunta, pero confía en mí, he pasado horas(no voy a entrar en detalle, ya que es fuera de tema). Nota: soy un estudiante de Escuela secundaria, el maestro le dio a esta cuestión como un desafío.

Yo estoy luchando con

$$\int e^{x^3+x^2-1}(3x^4+2x^3+2x)\ dx$$

Mi Progreso: he intentado encontrar integral por partes, y se encontró que el$$\int e^{x^3+x^2-1}\ dx$$

fue el único problema maker(por ahora). Así, traté de encontrar la integral, a continuación, se rindió y trató de usar una calculadora para ver lo que me perdí. El sitio web dijo: Que es antiderivada no es elemental. Yo ni siquiera sé lo que eso significa.

Nuevo Enfoque: Ahora, me fui a tratar de trazar la gráfica de $$ e^{x^3+x^2-1}$$ to see if I could related it to $$\int_{-a}^x e^{x^3+x^2-1}\ dx$$ and say whether $$\int e^{x^3+x^2-1}\ dx$$ existe o no existe.
Tenía la esperanza de que por alguna discontinuidad en la gráfica de la integral definida, pero no me parece a encontrar ninguno.

Nota: me llamó la gráfica de la integral definida a través de la observación y la intuición, creo que no hay ningún otro método.

Así es, hay alguna forma de ayudarme?

Answer 1

Usted puede seguir adelante con la integración por partes pero teniendo tiempo para inspección cuidadosa puede conducir a una respuesta rápida.

$$\int e^{\color{blue}{x^3+x^2-1}}(3x^4+2x^3+2x)\ dx$$

Observe que $\color{blue}{\left( x^3+x^2-1 \right)}' = \color{red}{3x^2+2x}$ y que $3x^4+2x^3 = x^2 \color{red}{\left( 3x^2+2x \right)}$, por lo que tiene:

$$\begin{align} \left(3x^4+2x^3+2x\right)e^{x^3+x^2-1} & = x^2\color{red}{\left( 3x^2+2x \right)}e^{\color{blue}{x^3+x^2-1}}+\color{green}{2x}e^{x^3+x^2-1} \\[6pt] & = x^2\color{blue}{\left( x^3+x^2-1 \right)}'e^{\color{blue}{x^3+x^2-1}}+\color{green}{\left( x^2 \right)'}e^{x^3+x^2-1} \\[6pt] & = x^2\color{blue}{\left(e^{\color{blue}{x^3+x^2-1}} \right)}'+\color{green}{\left( x^2 \right)'}e^{x^3+x^2-1} \\[6pt] & = \left( x^2e^{x^3+x^2-1} \right)' \end {Alinee el} $$ donde se reconoce la regla de producto para derivadas en el último paso.

Answer 2

Sugerencia: Tratar de encontrar a una primitiva de la forma $\exp(x^3+x^2-1)Q(x)$, donde $Q(x)$ es un polinomio.

Answer 3

Asumir la solución de la forma $\exp(x^3+x^2-1)Q(x)$ y diferenciar esta expresión para obtener $\exp(x^3+x^2-1)\left[(3x^2+2x)Q(x)+Q'(x)\right]$. Comparar esto con $\exp(x^3+x^2-1)\left[3x^4+2x^3+2x\right]$ para obtener la Oda:

$$(3x^2+2x)Q(x)+Q'(x)=3x^4+2x^3+2x.$$

La solución particular es $x^2$, también podía solucionar esta oda a separación de variables y la variación de parámetros para obtener $$Q(x)=x^2+c_1\exp(-x^3-x^2).$$ Setting $ c_1 = 0 $ will result in the particular solution $x ^ 2$.

Por lo tanto, la integral está dada por $\exp(x^3+x^2-1)x^2+c$

Answer 4

Que %#% $ #%

Así $$I = \int e^{x^3+x^2-1}\bigg(3x^4+2x^3+2x\bigg)dx = \int e^{x^3+x^2-1}\cdot x^2\bigg(3x^2+2x+2x^{-1}\bigg)dx$ $

Poner $$I = \int e^{x^3+x^2+2\ln x-1}\bigg(3x^2+2x+2x^{-1}\bigg)dx$ % entonces $x^3+x^2+2\ln x-1 = t\;,$

Así $(3x^2+2x+2x^{-1})dx = dt$ $

Answer 5

Bueno, nos gustaría tener en nuestra integral algo como el derivado de $x^3-x^2-1$, que es $3x^2+2x$. Así, vamos a dividir $3x^4+2x^3+2x$ $3x^2+2x$. Nos pondremos: $$3x^4+2x^3+2x=x^2(3x^2+2x)+2x$ $ por lo tanto, vamos a conectar nuestra integral: $$\begin{align*}\int e^{x^3+x^2-1}(3x^4+2x^3+2x)dx=&\int e^{x^3+x^2-1}\left(x^2(3x^2+2x)+2x\right)dx=\\ =&\int x^2e^{x^3+x^2-1}(3x^2+2x)+2xe^{x^3+x^2-1}dx=\\ =&\int x^2\left(e^{x^3+x^2-1}\right)'+(x^2)'e^{x^3+x^2-1}dx=\\ =&\int \left(x^2e^{x^3+x^2-1}\right)'dx=\\ =&x^2e^{x^3+x^2-1}+c,\ c\in\mathbb{R} \end{align*} $$

¡Espero que esto ayudó! :)