"Si existen conjuntos inaccesibles, su existencia no se puede probar en ZF"

Question

Agradecería que me ayudaran a entender y corroborar la cita del título que viene de "Números reales" de Stillwell, página 143.

Una definición de un conjunto inaccesible se puede encontrar aquí: Un ejemplo de un conjunto que no es inaccesible

Y $V_{ \alpha }$ se define:

$V_0= \emptyset $

$V_{ \alpha +1}= P(V_{ \alpha })$ donde $P$ es el conjunto de energía

$V_{ \lambda }= \bigcup_ { \beta\lt \lambda }V_{ \beta }$ para cada límite ordinal $ \lambda $

Siguiendo el texto:

Como preludio, se muestra que si $V_{ \alpha }$ es inaccesible, entonces satisface todos los axiomas ZF.

Entonces tomando el $least$ $ \alpha $ de tal manera que $V_{ \alpha }$ es inaccesible, de lo que se deduce que cualquier $V_{ \beta }$ en $V_{ \alpha }$ es $not$ inaccesible.

Así que $V_{ \alpha }$ satisface la declaración: "No hay ningún inaccesible $V_{ \beta }$ ." Por lo tanto, la existencia de un conjunto inaccesible no es demostrable en ZF.

Entiendo la afirmación de que $V_{ \alpha }$ satisface la declaración: No hay ningún inaccesible $V_{ \beta }$ .

¿Pero cómo se establece que la existencia de un conjunto inaccesible no es por lo tanto demostrable en ZF?

Desafortunadamente no hay discusión sobre la lógica en el texto, así que estoy un poco bloqueado.

También: ¿Es necesario definir explícitamente $V_{ \alpha }$ como se hizo anteriormente, o es adecuado declarar sólo que es inaccesible?

Gracias

EDITAR Esta es la declaración exacta de Stillwell:

"En la secta. 3.8 afirmamos que hay propiedades de "grandeza" tan extremas que no se puede probar que existan conjuntos con esas propiedades. Sugerimos que una de esas propiedades de "grandeza" es la inaccesibilidad, en la que un conjunto inaccesible es aquel que tiene miembros infinitos y está cerrado bajo las operaciones de conjunto de poder y toma de rangos de funciones. It debería ser ahora evidente que si Vα es un conjunto inaccesible, entonces Vα satisface los axiomas ZF

"Ciertamente, si Vα es lo suficientemente grande como para tener un miembro infinito, entonces satisface el conjunto vacío y los axiomas de infinito. Satisface el conjunto de energía y el reemplazo por la hipótesis de cierre bajo el conjunto de energía y la toma de rangos de funciones. El cierre bajo el conjunto de potencia también garantiza que α es un límite ordinal, en cuyo caso Vα también se cierra bajo el emparejamiento y la unión, por lo que Vα satisface los axiomas de emparejamiento y unión. Por último, cualquier Vα satisface los fundamentos, así que Vα satisface todos los axiomas de ZF. De ello se deduce que Vα también satisface cualquier consecuencia lógica de los axiomas ZF; es decir, cualquier proposición demostrable en la teoría de conjuntos ZF. Pero ahora supongamos que tomamos la menor α de manera que Vα sea inaccesible. Se deduce que cualquier Vβ en Vα no es inaccesible, por lo que Vα satisface la frase "no hay Vβ inaccesible". Existencia de un conjunto inaccesible Esto explica la sorprendente afirmación hecha al final de la Secta. 3.8: si existen conjuntos inaccesibles, entonces su existencia no es demostrable en ZF."

Answer 1

Tienes razón en estar confundido. El texto que citas de Stilwell barre varias sutilezas bajo la alfombra.

Primero:

De ello se deduce que cualquier $V_ \beta $ en $V_ \alpha $ no es inaccesible, así que $V_ \alpha $ satisface la frase "no hay ningún inaccesible $V_ \beta $ .”

Aquí el punto es usar $V_ \alpha $ como un modelo de ZF, pero el argumento asume tácitamente que $V_ \alpha $ está de acuerdo con nosotros sobre qué conjuntos son inaccesibles es decir, cuando la definición de "inaccesible" se interpreta dentro de $V_ \alpha $ de tal manera que los cuantificadores en ella oscilan sobre $V_ \alpha $ sólo, entonces produce el mismo resultado que preguntar si un conjunto (como $V_ \beta $ ) es en realidad inaccesible.

Si este no fuera el caso, podría ser que haya algún $V_ \beta\in V_ \alpha $ que podemos ver no es inaccesible, pero $V_ \alpha $ piensa lo es. Esto invalidaría el argumento de que "ZF no puede probar tal o cual cosa porque no es cierto en $V_ \alpha $ ".

De la misma manera, $V_ \alpha $ necesita estar de acuerdo con nosotros sobre qué conjuntos tienen la forma $V_ \beta $ en primer lugar.

Por lo que puedo ver, es en realidad verdadero que $V_ \alpha $ estará de acuerdo con nosotros en esos puntos, pero probar que este es el caso es bastante más sutil (además de algo tedioso) de lo que Stillwell hace creer.

Segundo, y mucho peor:

Aún así, lo que este argumento muestra es sólo que ZF no puede probar la frase "hay un $V_ \beta $ que es inaccesible".

Si queremos argumentar que ZF no puede probar la frase "hay algún conjunto que es inaccesible", entonces necesitamos más que el argumento presentado aquí.

Una forma de avanzar que se sugiere a sí misma sería mostrar que ZF demuestra que "si hay algún conjunto inaccesible, entonces hay un $ \beta $ de tal manera que $V_ \beta $ es inaccesible". Si ese es el caso, entonces si el ZF demostrara que "hay algún conjunto inaccesible", también demostraría que "hay un conjunto inaccesible $V_ \beta $ ", que ahora sabemos que no es así.

Sin embargo, ZF no prueba de hecho "si hay algún conjunto inaccesible, entonces hay un $ \beta $ de tal manera que $V_ \beta $ es inaccesible". A saber, el ZFC prueba que existe un conjunto "inaccesible": $H_{ \beth_\omega }$ el conjunto de todos los conjuntos hereditarios de cardinalidad inferior a $ \beth_\omega $ satisface todas las condiciones de Stillwell. Si esto implicaba la existencia de un inaccesible $V_ \beta $ entonces el ZFC probaría su propia consistencia, lo que desde Gödel sabemos que no es así. (Nótese que $H_{ \beth_\omega }$ no satisface el axioma de la unión!)

Por lo tanto, un mejor explicación parece ser que Stillwell se estaba expresando de manera descuidada y no estaba en realidad interesado en definir "inaccesible" como una propiedad de arbitraria conjuntos, pero sólo de conjuntos de la forma particular $V_ \beta $ . En ese caso, la "sorprendente afirmación" a la que apunta es que ZF no puede probar que "hay una inaccesible $V_ \beta $ "incluso si eso es cierto.

(Como señala Noah Schweber en un comentario, no es habitual en absoluto utilizar "inaccesible" sobre conjuntos arbitrarios. Lo que se suele hacer es definir "inaccesible" como una cierta propiedad de ordinales -- entonces $ \alpha $ se llama iff inaccesible $V_ \alpha $ es "inaccesible" en el sentido de Stillwell. Es posible que Stillwell no haya pensado completamente en su ampliación del concepto a conjuntos generales).