Bases de espacios de funciones continuas

Question

¿Cuál sería la base de un espacio de funciones continuas definidas sobre un intervalo cerrado $[a,b]$ ¿ser? Además, ¿cuál sería la base de un espacio similar con las limitaciones adicionales que $f$ es continuamente diferenciable y $f(a) = 0$ ? Creo que estos 2 espacios no son isomorfos... ¿Hay algo en $\mathbb R^N$ potencialmente isomorfo a las funciones continuas? Gracias.

Añadido: Si la pregunta anterior no está bien definida, quizás una pregunta más explícita podría ser, ¿es el conjunto de funciones continuas sobre [a,b] isomorfo a $\mathbb R^n$ para algunos $n\in \mathbb N$ ? O más generalmente, si dado un espacio vectorial, ¿cómo puedo determinar si este conjunto es isomorfo al conjunto de funciones continuas sobre [a,b] ? Gracias de nuevo.

Answer 1

Siendo isomorfo a $\mathbb{R}^n$ para algunos $n$ para un espacio vectorial real es lo mismo que ser de dimensión finita. También lo es $C[a,b]$ (funciones continuas $[a,b]\to \mathbb{R}$ ) de dimensión finita para $a<b$ ? No, porque es posible encontrar un subconjunto infinito linealmente independiente, por ejemplo, elegir una secuencia de funciones $(f_m)_m$ donde $f_m$ es distinto de cero en $[2^{-(m+1)},2^m]$ y cero en caso contrario, y entonces estas funciones forman un subconjunto linealmente independiente de $C[0,1]$ (evidentemente, el caso de la $a,b$ sigue escalando este ejemplo).