Una función de Schwartz es idénticamente cero en $\mathbb R^2$ si su integral en cada línea en el plano es cero

Question

Si la integral de una función de Schwartz es cero en cada línea en el plano es cero.

Creo que tal vez la transformada de Fourier de una variable es útil. Pero no puedo éxito.

¿Hay alguna sugerencia para probar esto?

Gracias

Answer 1

Para empezar, tenga en cuenta que $$\hat f(0,t)=\int_{\Bbb R}\left(\int_{\Bbb R} f(x,y)e^{-ity}\,dx\right)\,dy=\int_{\Bbb R}0\,dy=0$$

Hay varias maneras que usted puede modificar esto para mostrar $\hat f(s,t)=0$. Lo más divertido es este: Si $O$ es ortogonal $2\times 2$ matriz (o más bien la transformación lineal definida por una matriz), a continuación, $$\widehat{f\circ O}=\hat f\circ O.$$

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Que el último bit acerca de la transformación ortogonal es una cosa estándar. Pero ya he dicho incorrectamente al principio me podría dar una prueba. Vamos a cambiar la notación, teniendo en $x,\xi\in\Bbb R^2$, por lo que, después de la inserción de la $\pi$'s como en su favorito de normalización para la transformada de Fourier, $$\hat f(\xi)=\int_{\Bbb R^2}f(x)e^{-ix\cdot\xi}\,dx.$$ Since Lebesgue measure is rotation-invariant and $S^{-1}=O^T$ we see $$\int f(Ox)e^{-ix\cdot\xi}\,dx=\int f(x)e^{-i(O^Tx)\cdot\xi}\,dx=\int f(x)e^{-ix\cdot(O\xi)}\,dx.$$