$F(x)$ es una serie de energía formal. Encontrar $G(x)$ $F(G(x)) = x.$

Question

$F(x) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$. Encontrar $G(x) = \sum_{n=0}^{\infty}g_nx^{n}$ $F(G(x)) = x$. Específicamente encontrar una fórmula para $g_n$

Estoy aprendiendo sobre la serie de energía formal, así que por favor no use $\sin x = F(x)$ que creo que es cierto, por lo tanto, podemos fácilmente obtener $G(x)$ utilizando esta forma.

Traté de $F(G(x)) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{G(x)^{2n+1}}{(2n+1)!}$ y alguna manera conseguir el coeficiente de x como 1 y los coeficientes de $x^j$ $0$. Soy incapaz de hacerlo. Si tengo que proporcionar el cálculo tedioso que no me conduce en cualquier lugar, estoy feliz de hacerlo.

Answer 1

Sugerencia: Distinguir para obtener $F'(G(x))G'(x) = 1$. Entonces distinguir otra vez para obtener

$F''(G(x))G'(x)+F'(G(x))G''(x) = 0$

Pero nota $F''(G(x)) = -F(G(x))$ (este secreto es verdad porque $F$ es sinusoidal, pero por supuesto puede ser verificado por diferenciar la serie de energía), así

$F'(G(x))G''(x) = -xG'(x)$ y multiplicando ambos lados por $G'(x)$ da

$G''(x) = -x(G'(x))^2$

que podemos utilizar para solucionar para los coeficientes de $G(x)$.

Answer 2

Debe partir de su $G(x)=\sum_{n\geq 1} g_n x^n$ $n=1$ y no 0. Entonces por ejemplo $$ x = (g_1 x+g_2 x^2 + g_3 x^3+ \cdots) - (g_1 x + g_2 x^2+ \cdots)^3/3! + (g_1 x +\cdots)^5/5!+ \cdots$ $ viene con una clasificación natural y le permite leer de $g_1=1$, $g_2=0$, $g_3=1/6$...

Answer 3

En esta respuesta, se muestra que para una serie de energía formal $$ x + \sum_ {n = 2} ^ \infty a_nx ^ n $$ la serie inversa es $$ x + \sum_ {n = 2} ^ \infty b_nx ^ n $$ donde el $b_n$ puede ser computada inductivamente mediante la fórmula de composición $$ 0 = a_n b_n + \left [x ^ n\right] \sum_ {k = 2} ^ {n-1} b_k\left (x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + \dots + a_ {n-1} x ^ {n-1} \right) ^ k $$ puede ser ardua , pero funciona.

Answer 4

El método para calcular los coeficientes de la función inversa se conoce como Lagrange de la inversión. En este caso en particular, estamos invirtiendo la función seno, por lo que estamos interesados en el poder de la serie en torno a $x=0$$G(x)=\arcsin(x)$, y podemos aprovechar el hecho de que la serie de Taylor de $$ G'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = (1-x^2)^{-1/2} $$ puede ser calculado a partir de la extendida teorema del binomio: $$ G'(x) = \sum_{n\geq 0}\binom{-1/2}{n}(-1)^n x^{2n}=\sum_{n\geq 0}\binom{2n}{n}\frac{x^{2n}}{4^n} $$ y por termwise de integración: $$ G(x) = \sum_{n\geq 0}\binom{2n}{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)4^n}.$$ El radio de convergencia de una energía tal serie es $1$, por Weierstrass M-test o el hecho de que el más cercano a las singularidades del origen de $G'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ se encuentran en $x=\pm 1$.