¿Cómo solucionarlo?

Question

Tengo que resolver

$$\int\sqrt{1+x\sqrt{x^2+2}}dx$$

He elegido las variables de sustitución

$$u=\sqrt{x^2+2}$$ $$du=\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}$$

Sin embargo, estoy totalmente atrapado en

$$\int\sqrt{1+xu} dx$$

Que quiero creer que he elegido variables de sustitución incorrecta.

Luego he intentado dejar $u=x^2+2$ o simplemente $u=x$, pero no me ayudan a resolverlo.

¿Alguien por favor darme un Consejo en esto?

Gracias.

Answer 1

Pensé en Wolfram y arce también necesita un poco de ayuda. Pero estaba equivocado.

$$\int {\sqrt {1 + x\sqrt {{x^2} + 2} } } dx = \int {\sqrt {1 + \frac{1}{2}\sqrt {{x^2} + 2} } } 2xdx$$

\begin{gathered} y = {x^2} + 2 \\ dy = 2xdx \\ \end{reunió a}

\begin{gathered} \int {\sqrt {1 + \frac{1}{2}\sqrt y } } dy = \frac{2}{{15}}\sqrt 2 {\left( {\sqrt y + 2} \right)^{3/2}}\left( {3\sqrt y - 4} \right) \\ = \frac{2}{{15}}\sqrt 2 {\left( {\sqrt {{x^2} + 2} + 2} \right)^{3/2}}\left( {3\sqrt {{x^2} + 2} - 4} \right) \\ \end{reunió a}

Ahora Wolfram: Se trata de una identidad:

$$\int {\sqrt {1 + \frac{1}{2}\sqrt y } } dy = \frac{2}{{15}}\sqrt 2 {\left( {\sqrt y + 2} \right)^{3/2}}\left( {3\sqrt y - 4} \right)$$

Resubstituting me da:

$$\frac{2}{{15}}\sqrt 2 {\left( {\sqrt y + 2} \right)^{3/2}}\left( {3\sqrt y - 4} \right) = \frac{2}{{15}}\sqrt 2 {\left( {\sqrt {{x^2} + 2} + 2} \right)^{3/2}}\left( {3\sqrt {{x^2} + 2} - 4} \right)$$

Diferenciación:

$$\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{2}{{15}}\sqrt 2 {{\left( {\sqrt {{x^2} + 2} + 2} \right)}^{3/2}}\left( {3\sqrt {{x^2} + 2} - 4} \right)} \right) = \sqrt 2 x\sqrt {2 + \sqrt {{x^2} + 2} } $$`

Y:

$$\sqrt 2 x\sqrt {2 + \sqrt {{x^2} + 2} } \ne \sqrt {1 + x\sqrt {{x^2} + 2} }$$

¡Muy pobre! Para mí. Cometió un error por mi mismo.

Answer 2

$x=\sqrt{2}\tan{u},dx=\sqrt{2}\sec^2{u}du,\sqrt{1+x\sqrt{x^2+2}}dx=\sqrt{2+4\tan{u}|\sec{u}|}\sec^2{u}du=\dfrac{\sqrt{2\cos^2{u} \pm 4\sin{u}}}{|\cos{u}|\cos^2{u}}du=\pm\dfrac{\sqrt{2\cos^2{u} \pm 4\sin{u}}}{cos^4{u}}d\sin{u}=\pm\dfrac{\sqrt{2(1-v^2) \pm 4v}}{(1-v^2)^2}dv ,v=\sin{u}$

caso «+», $2(1-v^2)+4v=2(2-(v-1)^2)=2(2-y^2),y=v-1$ $\dfrac{\sqrt{2(1-v^2) +4v}}{(1-v^2)^2}dv=\dfrac{\sqrt{4-2y^2}}{(y(y+2))^2}dy$

$\dfrac{1}{y^2(y+2)^2}=\dfrac{1}{4(y+1)}\left(\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{(y+2)^2}\right)=\dfrac{1}{4y}\left(\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{(y+1)}\right)-\dfrac{1}{4(y+2)}\left(\dfrac{1}{y+1}-\dfrac{1}{(y+2)}\right)$

Nota:

$\dfrac{\sqrt{4-2y^2}}{y^2},\dfrac{\sqrt{4-2y^2}}{y}...$ puede ser resuelto, por lo que el problema puede ser resuelto.

Answer 3

Considerar la integral\begin{align} I = \int \sqrt{1 + x \sqrt{x^{2} + 2}} \, dx \end {Alinee el} hacer la sustitución $x = \sqrt{2} \, csch(t)$ para obtener la integral\begin{align} I = - \sqrt{2} \, \int \sqrt{1 + 2 \, csch(t) \, coth(t)} \cdot csch(t) \, coth(t) \, dt. \end {Alinee el} ahora Wolfram puede calcular la integral y proporciona el resultado\begin{align} - \frac{I}{\sqrt{2}} &= \frac{1}{2} \sinh(t) \sqrt{2 coth(t) csch(t)+1} \left[\frac{g(t)}{\sqrt{4 cosh(t)+cosh(2 t)-1}} - csch^2(t) \right] \end {Alinee el} donde\begin{align} g(t) = \ln\left(\tanh^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) - \ln\left(1 + \tanh^2\left(\frac{t}{2}\right) + \sqrt{-\tanh^4\left(\frac{t}{2}\right) + 2 \tanh^2\left( \frac{t}{2}\right) +1} \right) \end{align} haciendo una sustitución hacia atrás cuidadosa el resultado se convierte\begin{align} I &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ x \sqrt{1+x\sqrt{x^{2}+2}} + \ln\left( 1 + \frac{(x + \sqrt{x^2 + 2})^{2}}{2} + \sqrt{\frac{(x + \sqrt{x^2 + 2})^{4}}{4} + (x + \sqrt{x^2 + 2})^{2} - 1} \, \right) \right] \end {Alinee el}