Cómo puede uno demostrar que $|(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)|\le\frac{abcd}{4}$

Question

Dado que a, b, c, días números reales en el intervalo [1,2]

Cómo puede uno demostrar:

$|(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)|\le\frac{abcd}{4}$

Y cuando se produce la igualdad de

He probado usando AM GM pero sin resultados

Answer 1

Vamos $a=1+\cos(2t_a)$, $b=1+\cos(2t_b)$, $c=1+\cos(2t_c)$ y $d=1+\cos(2t_d)$ donde $t_a,t_b,t_c,t_d \in [0,\pi/4]$. Esto significa que tenemos que demostrar que \begin{align} \left \vert (\cos(2t_a)-\cos(2t_b)) (\cos(2t_b)-\cos(2t_c)) (\cos(2t_c)-\cos(2t_d)) (\cos(2t_d)-\cos(2t_a))\right \vert\\ \leq 4\cos^2(t_a)\cos^2(t_b)\cos^2(t_c)\cos^2(t_d) \end{align}

Ahora tenemos que para todos los $t_i,t_j \in [0,\pi/4]$ $$\left \vert \cos(2t_i)-\cos(2t_j)\right \vert \leq \sqrt2 \cos(t_i)\cos(t_j)$$ que cuando se multiplica fuera nos da lo que queremos.

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De manera equivalente, para $x,y \in [0,1]$, es suficiente para mostrar que $$\vert x-y\vert \leq \sqrt{\dfrac{(1+x)(1+y)}2}$$ que es equivalente a probar que $$2(x^2+y^2-2xy) \leq (1+x)(1+y) \iff 2x^2 + 2y^2 - 5xy - x-y - 1 \leq 0$$ que a su vez es equivalente a probar que $$(x-2y-1)(2x-y+1) \leq 0$$ lo cual es cierto, ya que la $2x-y+1 \geq 0$ $x-2y-1 \leq 0$ todos los $x,y \in [0,1]$. Aplicando la desigualdad anterior para los pares (i) $(a-1,b-1)$; (ii) $(b-1,c-1)$; (iii) $(c-1,d-1)$, y (iv) $(d-1,a-1)$; y la multiplicación de ellos, obtenemos lo que queremos.

Answer 2

(Nota: creo que la desigualdad debe ser %#% $ de #% esta respuesta toma esto en consideración.)

Desde $$|(a - b)(b - c)(c - d)(d - a)| \leq abcd.$,

$a, b, c, d \in [1, 2]$$ $$1 \leq a \leq 2$$ $$1 \leq b \leq 2$$ $$1 \leq c \leq 2$$

En consecuencia, $$1 \leq d \leq 2$ $ $$-1 \leq a - b \leq 1$ $ $$-1 \leq b - c \leq 1$ $ $$-1 \leq c - d \leq 1$ $

Por lo tanto, obtenemos el $$-1 \leq d - a \leq 1$ $