¿Cuál es la relación entre la medida de Lebesgue de una bola en $\mathbb{R}^n$ a la medida de una esfera? He derivado la medida de una esfera $S^{n-1}$ en $\mathbb{R}^n$ para ser $\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}$ pero no sé cómo relacionar las dos cosas. Por favor, ayúdenme y gracias de antemano.
Respuesta
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El área de una esfera de radio $r$ es la derivada con respecto a $r$ del volumen de la bola de radio $r$ . (Piensa en el volumen de una película delgada de espesor $dr$ en la superficie de la bola) Como ese volumen es proporcional a $r^n$ se deduce que el área de la esfera unitaria es $n$ veces el volumen de la bola unitaria.
