¿La intuición detrás de "Bloque de Frobenius", alguien puede explicarme un poco más en detalle lo que ' va por aqui?

Question

Que $A = k[x]$. Entonces, cualquier ideal de $A$ es un principal % ideal $(f) \subset A$, para algunos polinomio $$f = x^n + c_{n - 1}x^{n - 1} + \ldots + c_0 \in k[x], \quad f \neq 0.$$ Let $M = k [x] / (f)$, an $A$-module. Then we can choose $1$, $x$, $\ldots$, $x^ {n - 1}$ as a $k$-basis of $M$. Multiplication by $x$ sends $$1 \to x \to x^2 \to \ldots \to x^{n - 1} \to x^n = -(c_{n - 1}x^{n - 1} + \ldots + c_0)$$ (because $f = 0$ in $M$). Thus, we have an isomorphism $k[x]/(f) \cong k ^ n$, as $k$-vector spaces, and the multiplication by $x$ operator has matrix$%$ $\begin{pmatrix} 0 & 1 & & & & 0 \\ & 0 & 1 & & & 0 \\ & & \ddots & \ddots & & 0 \\ & & & & 1 & 0 \\ & & & & 0 & 0 \\ -c_0 & -c_1 & & \cdots & & -c_{n - 1} \end{pmatrix} \quad \text{("Frobenius block")}.$

Mi pregunta es, ¿qué es la intuición detrás de la definición de bloque de Frobenius aquí? ¿Alguien puede explicarme un poco más en detalle lo que está sucediendo aquí?

Answer 1

Por supuesto, $k[x]/(f)$ $k$- módulo, es decir, un $k$-espacio vectorial.

Por otra parte, el mapa de $T(g(x)) = xg(x)$ es lineal mapa. Como tal, podemos caracterizar este mapa con respecto a una determinada base a través de una matriz.

En particular, tomamos nota de que $\{1,x,\dots,x^{n-1}\}$. Vemos que $T(1) = x$, por lo que (si $n \geq 2$) de la correspondiente matriz $M$ debe satisfacer $$\pmatrix{1&0&0 & \cdots & 0} M = \pmatrix{0 & 1 & 0 & \cdots &0}$$ Del mismo modo, desde la $T(x) = x^2$, debemos tener (si $n\geq 3$) $$\pmatrix{0&1&0&0 & \cdots & 0} M = \pmatrix{0&0 & 1 & 0 & \cdots &0}$$ Por supuesto, $T(x^{n-1}) = x^n = -c_0 - c_1 x - \cdots - c_{n-1}x^{n-1}$. En consecuencia, hemos $$\pmatrix{0 & \cdots & 0 & 1} M = \pmatrix{-c_0 & -c_1 & \cdots & -c_{n-1}}$$ Por supuesto, esta transformación tendrá un mínimo polinomio dividiendo $f$, ya que para cualquier $g$, tenemos $$f(T)g = f(x)g = 0 g = 0$$ Por otro lado, no existe ningún polinomio de menor grado tal que $p(T)$ es el cero de la transformación. Por lo tanto, esta Frobenius bloque tiene carácter y un mínimo de polinomio $f(x)$.