En el "gracioso" identidad $\tfrac{1}{\sin(2\pi/7)} + \tfrac{1}{\sin(3\pi/7)} = \tfrac{1}{\sin(\pi/7)}$

Question

Esta igualdad en el título es una respuesta en la BMV post Divertido Identidades. Al principio, pensé que tenía que ver con $7$ siendo una de Mersenne prime, pero con un poco de experimentación con Mathematica's entero de las relaciones encontradas,

$$\frac{1}{\sin(2\pi/15)} + \frac{1}{\sin(4\pi/15)} + \frac{1}{\sin(7\pi/15)} = \frac{1}{\sin(\pi/15)}$$

$$\frac{1}{\sin(2\pi/31)} + \frac{1}{\sin(4\pi/31)} + \frac{1}{\sin(8\pi/31)} + \frac{1}{\sin(15\pi/31)} = \frac{1}{\sin(\pi/31)}$$

así que la Mersenne número no necesita ser el primer. Deje $M_n = 2^n-1$. ¿Cómo podemos demostrar que,

$$\frac{1}{\sin(M_{n-1}\pi/M_n)}+\sum_{k=1}^{n-2} \frac{1}{\sin(2^k\pi/M_n)} = \frac{1}{\sin(\pi/M_n)}$$

de hecho es cierto para todo entero $n>2$?

Editar (una hora después):

Me acabo de dar cuenta que ya que, por ejemplo, $\sin(3\pi/7)=\sin(4\pi/7)$, entonces la pregunta puede ser mucho más simplificado,

$$\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{\sin(2^k\pi/M_n)} \overset{?}{=} \frac{1}{\sin(\pi/M_n)}$$

Answer 1

Yo sugeriría una mayor simplificación del problema, a saber, que $ \frac{1}{ \sin (\pi/ M_n) } = - \frac{1}{ \sin ( 2^n \pi / M_n)} $. La identidad, entonces, se convierte

$$ \sum_{i=1}^n \frac{1}{\sin (2^n \pi / M_n )} = 0. $$

Ahora usamos

$$ \frac{1}{\sin \theta} = \cot \frac{\theta}{2} - \cot \theta,$$

que se puede verificar por sí mismo, a la conclusión de que el resultado se sigue de que telescópica, ya $ \cot \frac{ \pi}{2^n - 1} = \cot \frac{ 2^n \pi } { 2^n - 1}$.

Nota: tengo el trig identidad de Wikipedia trig identidad, sabiendo que yo quería $\csc \theta$ y algo que podría telescopio.

Answer 2

Que $$\displaystyle S=\sum_{k=1}^{n-1}\csc \left(\frac{2^k \pi}{2^n-1} \right)$ $ usando fórmula de Euler, podemos expresar esta cantidad en términos de números complejos. $$S=\sum_{k=1}^{n-1} \frac{2i}{e^{i 2^k \pi/(2^n-1)}-e^{-i2^k\pi /(2^n-1)}}=2i \sum_{k=1}^{n-1}\frac{e^{i 2^k \pi/(2^n-1)}}{e^{i 2^{k+1}\pi/(2^n-1)}-1}$ $ Por simplicidad, supóngase $x=e^{i\pi/(2^n-1)}$. Entonces $$ \begin{align*} S &= 2i\sum_{k=1}^{n-1}\frac{x^{2^k}}{x^{2^{k+1}}-1} \\ &= 2i \sum_{k=1}^{n-1}\frac{(x^{2^k}+1)-1}{(x^{2^k}+1)(x^{2^k}-1)} \\ &= 2i \sum_{k=1}^{n-1}\left( \frac{1}{x^{2^k}-1}-\frac{1}{x^{2^{k+1}}-1}\right) \end{align*} $ es una suma telescópica y su valor es $$ \begin{align*} S &= 2i \left( \frac{1}{x^2-1}-\frac{1}{x^{2^n}-1}\right) \end{align*} sustituyendo, da $$ $$\begin{align*} S &= 2i \left( \frac{1}{e^{2i\pi/(2^n-1)}-1}-\frac{1}{e^{i 2^n \pi/(2^n-1)}-1}\right) \\ &= 2i \left( \frac{1}{e^{2i\pi/(2^n-1)}-1}+\frac{1}{e^{i\pi/(2^n-1)}+1}\right)\\ &= 2i \frac{e^{i\pi/(2^n-1)}}{e^{2i\pi/(2^n-1)}-1} \\ &= \csc \left( \frac{\pi}{2^n-1}\right) \end{align*} $$ como se desee.