Relación entre señales de las partes imaginarias de $(x+iy)$ y $\sqrt{x+iy}$

Question

Estoy mirando las notas de Harvard para el análisis complejo, y no sigo cómo llegan en el círculo:

EDIT: También alguien me puede mostrar cómo llegar a la última línea? Estoy un poco confundida acerca de cómo emerge el $\text{sgn}(b)$ allí.

Answer 1

Tienes $$ \begin{align} x^2+y^2 &= \sqrt{a^2+b^2} \tag{1}\\ x^2-y^2 &= a\tag{2} \end{Alinee el} $$ donde (2) es una de las dos ecuaciones originales del sistema y (1) es la nueva llegaron a.

Suma (1) y (2) y dividiendo por dos, obtienes $$ x ^ 2 = \frac{1}{2}\left(a+\sqrt{a^2+b^2}\right) $$ (2) restando (1) y dividiendo por dos, obtener $$ y ^ 2 = \frac{1}{2}\left(-a+\sqrt{a^2+b^2}\right). $$

Answer 2

Antes está escrito que $$x^2-y^2=a$ $ espero desde $$x^2+y^2=\sqrt{a^2+b^2}$ $ sigue $$2x^2=a+\sqrt{a^2+b^2}$ $ aclara las cosas.

Answer 3

No veo donde se abordó la pregunta sobre la aparición de $\text{sgn}(b)$.

El signo de la dos soluciones $x = +/-$... y $y = +/-$... pueden elegir independientemente. $2xy = b$, Así que usted debe elegir o $(x>0, y<0)$ o $(x<0, y>0)$. El factor de $\text{sgn}(b)$ se encarga de eso. Con él las dos soluciones son ahora correctamente dada por el factor general de $+/-$ en frente de la expresión $x+iy$.

Answer 4

Las raíces cuadradas son positivos - déjame denota como |x| y |y|. x y y pueden ser positivos o negativos, de forma independiente. Así que hay 4 las posibles soluciones que podemos agrupar como +/-(|x|+|y|) cuando (x>0,y>0) o (x<0,y<0), y +/-(|x|-i|y|) cuando (x>0,y<0) o (x<0,y>0).

En su declaración original del problema tiene que 2xy = b. Así que cuando x y y tienen el mismo signo, entonces b>0, y cuando tienen signos opuestos entonces b<0. Así que el 4 de soluciones mencionadas anteriormente se puede escribir de manera más compacta como +/-( |x| + isgn(b)|y| ).