subgrupo generado por dos subgrupos

Question

Que $A$ $B$ ser dos subgrupos del mismo grupo $G$. Deje que

$$AB=\{ab\,|\, a\in A,\, b\in B \}$$ and $$\langle A,B\rangle$$ the subgroup generated by $A$ and $B$.

¿Son $AB$ y $\langle A,B\rangle$ el mismo que establece? Mi conjetura es no ya que el elemento $aba\in \langle A,B\rangle$ pero no es en $AB$, pero creo que cuando viaje de $A$ y $B$: $AB=BA$ entonces esto es verdad. ¿es esto correcto?

Answer 1

Sí, el conjunto $AB$ es un subgrupo de $G$ si y sólo si $AB = BA$, como se puede encontrar en muchos textos de álgebra, tales como Herstein "Temas de Álgebra". Sin duda es necesario que $AB = BA$, ya que el $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$ $a \in A, b \in B$ y subgrupos están cerrados en tomar la recíproca. Por otro lado, si tenemos $AB = BA$, entonces para cualquier $a,c \in A$ $b,d \in B$ , $(ab)(cd) = a(bc)d = a(c^{*}b^{*})d$ algunos $c^{*} \in A$, $b^{*} \in B$, por lo que el $(ab)(cd) = (ac^{*})(b^{*}d) \in AB$. Por lo tanto $AB$ es cerrado bajo de tomar la recíproca, y cerrado bajo la operación, por lo $AB$ es un subgrupo.

También se $AB = BA$ implica que el $\langle A,B \rangle \subseteq AB \subseteq \langle A,B \rangle$, lo $\langle A,B \rangle = AB$. Por el contrario, si $\langle A,B \rangle = AB$ (como un juego), a continuación, $AB$ es un subgrupo, por lo $AB = BA$.

Por cierto, si $AB = BA$, es habitual decir que los subgrupos $A$ $B$ son permutable, en lugar de que ellos conmutan. Tenga en cuenta que permutability necesidad no implica que todos los elementos de a $A$ conmutan con todos los elementos de a $B$.

Answer 2

Sea $G$ $S_3$, el grupo de todas las permutaciones en $3$ letras.

Sea $A$ el subgrupo de dos elementos generado por la transposición $(1,2)$ y $B$ los dos elementos subgrupo generado por $(1,3)$. A continuación, $AB$ consiste en la identidad, $(1,2)$, $(1,3)$ y su producto $(12)(13)=(1,2,3)$.

Pero $\langle A, B\rangle$ $S_3$. Podemos verificar esto directamente. O bien que $\langle A, B\rangle$ tiene por lo menos $4$ elementos. Puesto que el orden de $\langle A, B\rangle$ debe dividir $3!$, $\langle A, B\rangle$ es de $S_3$.

Answer 3

Tenga en cuenta que, independientemente de si $AB$ es un subgrupo o no, si $A$ $B$ son finitos, entonces el número de elementos que tiene es $$|AB| = \frac{|A||B|}{|A\cap B|}.$$

Para ver esto, considere el mapa de $A\times B \to AB$$(a,b)\mapsto ab$. El mapa está claramente en. Si $x\in A\cap B$, entonces para cada a $a\in A$ $b\in B$ $ax\in A$, $x^{-1}b\in B$, por lo $(ax,x^{-1}b)\in A\times B$ tiene la misma imagen como $(a,b)$. Así, cada elemento de a $AB$ es la imagen de al menos $|A\cap B|$-muchos elementos. Por el contrario, si $(a,b)$ $(a',b')$ tienen la misma imagen bajo este mapa, a continuación,$ab=a'b'$, por lo tanto $(a')^{-1}a=b'b^{-1}\in A\cap B$, e $a = a'(a'^{-1}a)$$b=(a'^{-1}a)^{-1}b' = (bb'^{-1})b'$, por lo que cualquiera de los dos pares que se asignan a un mismo elemento surgir a partir de un elemento de $A\cap B$. Así, cada imagen se produce a $|A\cap B|$ veces, por lo $|AB||A\cap B| = |A\times B|=|A||B|$.

En particular, $G=S_3$, $A=\langle(1,2)\rangle$, y $B=\langle (1,3)\rangle$. A continuación,$A\cap B = \{e\}$, por lo que el número de elementos en $AB$$|A||B|=4$. Esto no puede ser un subgrupo de $S_3$, del Teorema de Lagrange. Por lo $AB$ está correctamente contenida en $\langle A,B\rangle$ (como juegos).