Encontrar los coeficientes del polinomio, sabiendo que sus raíces son números enteros consecutivos

Question

En la función $f(x)= x^3-15x^2+ax+b$ el gráfico tiene $3$ puntos consecutivos donde cruza el eje x. Estos puntos de $3$ son números enteros consecutivos. Buscar $a$ y $b$ para esto es sabemos que $a$ y $b$ son números reales.

¿Cómo se empieza a encontrar la respuesta?

Answer 1

El método de la fuerza bruta que no requiere de fórmulas o teoremas sería así:

Usted sabe que hay $3$ ceros consecutivos $(n-1)$, $n$, $(n+1)$. Es importante elegir ellos, así como frente a $n$, $(n+1)$, $(n+2)$ porque esto le ahorrará un montón de álgebra.

$0=(n-1)^3-15(n-1)^2+a(n-1)+b $

$0=n^3-15n^2+an+b $

$0=(n+1)^3-15(n+1)^2+a(n+1)+b $

$\color{red}{\text {This is how to start it. Below is the answer, so if you just wanted a hint you can stop here.}}$

Deshacerse de la $b$ primero porque es fácil. Para ello, restar el medio de la ecuación de los otros dos, la producción de dos ecuaciones con $a$ $n$ como incógnitas:

$$0-0=[(n-1)^3-15(n-1)^2+a(n-1)+b ]- (n^3-15n^2+an+b )$$

Que se simplifica a

$$0=-a-3n^2+33n-16 $$

Y

$$0-0 = [(n+1)^3-15(n+1)^2+a(n+1)+b ] - (n^3-15n^2+an+b )$$

Que se simplifica a

$$0=a+3n^2-27n-14 $$

Así tenemos el sistema

$$0=-a-3n^2+33n-16 $$

$$0=a+3n^2-27n-14 $$

Ahora agregue estos $2$ ecuaciones juntos, y conseguir

$$0=6n-30$$

Por lo tanto

$$n=5$$

Ahora que usted ha $n$, usted sabe que las otras soluciones son de la forma $n \pm 1$, por lo que el $3$ de las raíces se $4, 5, 6$.

Ahora conectar dos de estos en su cúbicos (tal vez los dos más pequeños) y tendrá dos ecuaciones con $a$ $b$ como incógnitas.

$$0=4^3-15\cdot4^2+4a+b$$

$$0=5^3-15\cdot5^2+5a+b$$

Simplificando,

$$0=4a+b-176$$

$$0=5a+b-250$$

La solución de este sistema, obtenemos

$$a=74, \ b=-120$$

EDITAR:

Como notado por mathguy en los comentarios de abajo, podemos reducir el trabajo necesario. Una vez que nos encontramos con $n$, podemos usar la ecuación

$$0=a+3n^2-27n-14 $$

para encontrar $a$:

$$0=a+3 \cdot(5)^2-27 \cdot (5) -14$$

$\implies$ $a=74$

Ahora podemos utilizar uno de los originales de $3$ ecuaciones (uno con $n-1$ para la más fácil de cálculo?) para encontrar $b$:

$$0=(5-1)^3-15(5-1)^2+74(5-1)+b $$

$\implies$ $b = -120$

$$a=74, \ b=-120$$

Answer 2

OK, así que vamos a asumir que usted nunca oyó hablar de Vieta fórmulas.

Los puntos donde la gráfica cruza el $x$ eje son las raíces del polinomio, y si usted sabe las raíces del polinomio, llamarlos $A, B, C$, entonces el polinomio se puede escribir como $f(x) = (x-A)(x-B)(x-C)$. Se supone que debes saber esto? Si no, sugiero que el problema es injusto. Así que vamos a decir a usted se le permite asumir que este mucho.

A continuación, $f(x) = x^3 - (A+B+C) x^2 + \cdots$ (o $-\cdots$). Así que esto significa $A+B+C = 15$. Esta es la Vieta fórmula para la suma de las raíces, incluso si nunca has oído hablar de él (y para resolver el problema, usted no necesita saber que incluso tiene un nombre).

Ahora $A,B,C$ son números enteros consecutivos, por lo que el medio debe ser de 5, y los otros son 4 y 6. Enchufe de nuevo en $f(x)=(x-4)(x-5)(x-6)$ y encontrar $a, b$ fuerza bruta (multiplicar el lado derecho).

Answer 3

Cruzando el $x$ eje significa que usted tiene una raíz. Hay un aseado fórmula, llamada fórmula de Vieta (se alude en los comentarios) que para un polinomio monic del formulario $$ x ^ n + a_ {n-1} x ^ {n-1} +... + a_0 = 0 $$ las raíces de este polinomio suma $-a_{n-1}$.

Así que en tu caso tienes una ecuación en una variable ya sabes que las raíces son consecutivas. Que $r_1,r_1+1,r_1+2$ ser tus raíces y de Vieta.

Answer 4

Esto puede ser útil para usted: https://en.wikipedia.org/wiki/Vieta%27s_formulas