ejercicio de inducción - tener problemas con $1^3 + 2^3 + ... + (n+1)^3 = [(n(n+1))/2]^2$

Question

Estoy tratando de resolver por inducción que $1^3 + 2^3 + ... + (n+1)^3 = [(n(n+1))/2]^2$

Sin embargo, tengo muchos problemas, y hay que decir que no hago muchas matemáticas.

Sigo recibiendo $(k+1)^3 = (k+1)^2$ cada vez que intento resolverlo. Por favor, indíqueme en qué me estoy equivocando.

$[ (k(k+1))/2]^2 + (k+1)^3 = [ (k(k+1))/2 + (k+1) ]^2$

$(k^2(k+1)^2)/4 + (k+1)^3 = (k^2(k+1)^2)/4 + (k+1)^2$

Por favor, ayuda.

Answer 1

Por favor, indíqueme dónde me equivoco.

$[ (k(k+1))/2]^2 + (k+1)^3 = [ (k(k+1))/2 + (k+1) ]^2$

$(k^2(k+1)^2)/4 + (k+1)^3 = (k^2(k+1)^2)/4 + (k+1)^2$

Hiciste esto en el RHS: $$\left(\frac{k(k+1)}2+(k+1)\right)^2 = \frac{k^2(k+1)^2}4 + (k+1)^2.$$ Esto no es correcto. Usted tiene $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ no $(a+b)^2=a^2+b^2$ . Así que deberías conseguir $$\left(\frac{k(k+1)}2+(k+1)\right)^2 = \frac{k^2(k+1)^2}4 + k(k+1)^2 + (k+1)^2.$$ Usted puede notar que $k(k+1)^2 + (k+1)^2= k(k+1)^2 + 1(k+1)^2 = (k+1)(k+1)^2 = (k+1)^3$ . Así se consigue exactamente la igualdad que se deseaba.