Irreductibilidad de un polinomio en $\mathbb{F}_4$

Question

Dejemos que $j$ sea un elemento primitivo para la extensión $\mathbb{F}_4/\mathbb{F}_2$ , dejemos que $f(x)=x^4+x^2+jx+1 \in \mathbb{F}_4[x]$ Quiero demostrar que f es irreducible sobre $\mathbb{F}_4$ .

Sé que $\mathbb{F}_4=\mathbb{F}_2[x]/(x^2+x+1)$ Pero, ¿cómo puedo hacer frente a $f$ en este cociente? Gracias

Answer 1

Una forma aburrida pero sencilla es la Criba de Eratóstenes para $\mathbb{F}_4[x]$ .

Los irreducibles (mónicos) de grado $1$ son $x$ , $x+1$ , $x+j$ y $x+(1+j)$ . (Por supuesto, en un campo de características $2$ , $+$ o $-$ es lo mismo).

Por tanto, los polinomios reducibles de grado $2$ son $$(x)(x)=x^2,\quad (x)(x+1)=x^2+x, \quad\ldots,\quad (x+(1+j))(x+(1+j))=x^2+j$$ Cualquier otro polinomio de grado $2$ ¡debe ser irreductible!

Ahora usted podría proceder a "tachar" los polinomios reducibles de grado $3$ dejando los irreducibles de grado $3$ ...y así sucesivamente... pero en realidad no es necesario. Al igual que usted sólo tiene que comprobar hasta $\sqrt{n}$ para los divisores de un número entero $n$ para comprobar si $n$ es primo, sólo hay que comprobar los irreducibles de grado $\leq\frac{\deg(f)}{2}$ para comprobar si un polinomio $f$ es irreducible (a ver si puedes demostrarlo).

Answer 2

He aquí otro método, pero quizá no tan adecuado para el cálculo manual:

Dejemos que $R=\Bbb F_4[\xi]/(\xi^4+\xi^2+j\xi+1)$ . Si $f$ factores no triviales como $gh$ entonces $R\cong\Bbb F_4[s]/(g(s))\oplus\Bbb F_4[t]/(h(t))$ suma directa de dos anillos de orden $4^{\deg g}$ y $4^{\deg h}$ , respectivamente, y en este anillo no hay elementos de orden multiplicativo muy alto. Pero de hecho (y aquí está el cálculo), $\eta=1+\xi$ tiene orden multiplicativo $255$ en $R$ El resultado: se comprueba que, aunque $\eta^{255}=1$ También se obtiene $\eta^{255/3}\ne1$ , $\eta^{255/5}\ne1$ y $\eta^{255/17}\ne1$ . Así, $R$ es $\Bbb F_{256}$ , un campo, por lo que $f$ es irreducible.

Answer 3

Sólo con papel y lápiz calculé $\gcd(x^{16}+x,f(x))$ de la siguiente manera por medio de la cuadratura repetida. Todas las congruencias son módulo $f$ . Recordemos que el cuadrado es aditivo. $$ \begin{aligned} x^4&\equiv x^2+jx+1,\\ x^4+x^2&\equiv jx+1,&\ \text{(a by-product used below)}\\ x^8&\equiv x^4+(j+1)x^2+1\\ &\equiv jx^2+jx\\ x^{16}&\equiv j^2(x^2+x)^2=(j+1)(x^4+x^2)\\ &\equiv (j+1)(jx+1)=x+j+1,\\ x^{16}+x&\equiv j+1. \end{aligned} $$ Así que $f(x)$ y $x^{16}+x$ no tienen factores comunes. Por lo tanto, $f$ no tiene ceros en $\Bbb{F}_{16}$ . En consecuencia, $f$ no puede tener ningún factor lineal o cuadrático en $\Bbb{F}_4[x]$ . Por lo tanto, es irreducible en ese anillo.

Creo que esto es un poco más rápido que las alternativas sugeridas.