Deje $X$ ser un espacio topológico. El universal coeficiente teorema dice que hay una breve secuencia exacta $$ 0\rightarrow Ext(H_{k-1}(X,\mathbb{Z}),\mathbb{Z})\rightarrow H^{k}(X,\mathbb{Z})\rightarrow Hom(H_{k}(X,\mathbb{Z}),\mathbb{Z})\rightarrow 0 $$ para $1\le k$. En particular, un elemento de torsión en $H_{1}(X,\mathbb{Z})$ induce un elemento de torsión en $H^2(X,\mathbb{Z})$.
Me gustaría entender la declaración anterior en la siguiente situación. Considere la posibilidad de un 2-toro (es decir,$(S^1)^2$) fibration $f:X\rightarrow Y$. Suponga $H_{1}(Y,\mathbb{Z})=\pi_{1}(Y)=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ y monodromy representación está dada por $(-id,-id)$$(S^1)^2$. A continuación, la secuencia Espectral asociada con $f$ muestra $$ H_{1}(X,\mathbb{Z})=H_{1}(S,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}. $$ Es posible "ver" la torsión en $H^2(X,\mathbb{Z})$ inducida por $H_{1}(X,\mathbb{Z})$?
Uno lo desea, puede utilizar la dualidad de Poincaré (para realizar la torsión como una submanifold etc), así que por favor tome $Y$ favoritos en tu dimensión.
