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¿Está conectado el complemento de la bola unitaria cerrada?

En $\mathbb{R}^2$ ¿Cómo puedo demostrar directamente que el complemento de la bola unitaria cerrada está conectado?

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Depende del espacio métrico en el que te encuentres. En $\Bbb{R}$ con la métrica del valor absoluto no lo es.

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Supongo que esto se refiere a $\Bbb R^n$ para $n\ge2$ .

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¿Sabe que ese camino conectado implica estar conectado? Un camino entre dos puntos no debería ser difícil de escribir.

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Ben Pineau Puntos 176

He aquí una forma de demostrarlo.

Obsérvese que el producto cartesiano de dos espacios conexos es conexo.

Así que $D:=(1,\infty)\times\mathbb{R}$ está conectado

Considere el mapa $f:D\to \mathbb{R}^2$ por

$(x,y)\to (xcos(y),xsin(y))$

$f$ es claramente continua y $f(D)$ es el complemento de la bola unitaria. Dado que la conectividad se conserva bajo mapas continuos, la conectividad de $f(D)$ sigue.

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Esta es la respuesta que estaba buscando. Gracias.

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SonOfTheEARTh Puntos 551

En caso de que esté buscando $\mathbb{R}^n$ con la métrica euclidiana estándar, entonces $\mathbb{R}^n \setminus B(0,1)$ es un camino conectado si y sólo si $n = 1$ , donde $B(0, 1)$ denota la bola unitaria cerrada. Ahora, para $n=1$ ya tienes la respuesta. Para $n \geq 2$ , puede tomar dos puntos $a, b \in \mathbb{R}^n \setminus B(0,1)$ . Así, $$ a' = \frac{2a}{\lVert a \rVert} \quad \text{and} \quad b' = \frac{2b}{\lVert b \rVert} $$ l en la esfera $S^n$ con radio $2$ y centrar el origen. Claramente, $a$ y $a'$ se puede conectar a través de una línea recta y lo mismo para $b$ y $b'$ . Además, $a'$ y $b'$ nes en un $(n-1)$ -Esfera de dimensiones $S^{n-1}$ con radio $2$ que se encuentra en la esfera original $S^n$ . Por inducción en $n$ existe ahora un camino entre $a'$ y $b'$ en $S^{n-1}$ (donde hay que demostrar que $S^1$ está conectado (lo que puede hacerse explícitamente con $\sin$ y $\cos$ )).

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Conozco esta solución. Pero me pregunto si esto puede ser probado no usando caminos.

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Se puede hacer, pero es mucho menos esclarecedor. Yo diría que la solución a través de la conexión de caminos es la forma natural de demostrarlo.

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netdias Puntos 21

dejar $B_{1}$ sea la bola unitaria cerrada en $X$ .

Tenga en cuenta que el conjunto $\mathbb{R}^n\setminus B_{1}$ está abierto desde $B_{1}$ está cerrado. No hay manera de dividir en dos conjuntos abiertos disjuntos $U$ y $V$ donde $U\cup V=\mathbb{R}^n\setminus B_{1}$ .

en $\mathbb{R}$ esto equivaldría a mostrar el conjunto $\mathbb{R}\setminus (-1,-1)$ está conectado. Esto equivale a $(-\infty,-1-\epsilon)\cup (1+\epsilon, \infty)$ . Recordemos que los intervalos, tanto cerrados como abiertos, están conectados. Para $\mathbb{R}^n$ podemos considerar el producto cartesiano $\mathbb{R}^n\setminus (-1,1)^{n}$ . Los productos cartesianos (finitos) de conjuntos conexos son conexos, lo que demuestra $\mathbb{R}^n\setminus B_{1}$ está conectado.

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