En $\mathbb{R}^2$ ¿Cómo puedo demostrar directamente que el complemento de la bola unitaria cerrada está conectado?
Esta es la respuesta que estaba buscando. Gracias.
En $\mathbb{R}^2$ ¿Cómo puedo demostrar directamente que el complemento de la bola unitaria cerrada está conectado?
He aquí una forma de demostrarlo.
Obsérvese que el producto cartesiano de dos espacios conexos es conexo.
Así que $D:=(1,\infty)\times\mathbb{R}$ está conectado
Considere el mapa $f:D\to \mathbb{R}^2$ por
$(x,y)\to (xcos(y),xsin(y))$
$f$ es claramente continua y $f(D)$ es el complemento de la bola unitaria. Dado que la conectividad se conserva bajo mapas continuos, la conectividad de $f(D)$ sigue.
En caso de que esté buscando $\mathbb{R}^n$ con la métrica euclidiana estándar, entonces $\mathbb{R}^n \setminus B(0,1)$ es un camino conectado si y sólo si $n = 1$ , donde $B(0, 1)$ denota la bola unitaria cerrada. Ahora, para $n=1$ ya tienes la respuesta. Para $n \geq 2$ , puede tomar dos puntos $a, b \in \mathbb{R}^n \setminus B(0,1)$ . Así, $$ a' = \frac{2a}{\lVert a \rVert} \quad \text{and} \quad b' = \frac{2b}{\lVert b \rVert} $$ l en la esfera $S^n$ con radio $2$ y centrar el origen. Claramente, $a$ y $a'$ se puede conectar a través de una línea recta y lo mismo para $b$ y $b'$ . Además, $a'$ y $b'$ nes en un $(n-1)$ -Esfera de dimensiones $S^{n-1}$ con radio $2$ que se encuentra en la esfera original $S^n$ . Por inducción en $n$ existe ahora un camino entre $a'$ y $b'$ en $S^{n-1}$ (donde hay que demostrar que $S^1$ está conectado (lo que puede hacerse explícitamente con $\sin$ y $\cos$ )).
dejar $B_{1}$ sea la bola unitaria cerrada en $X$ .
Tenga en cuenta que el conjunto $\mathbb{R}^n\setminus B_{1}$ está abierto desde $B_{1}$ está cerrado. No hay manera de dividir en dos conjuntos abiertos disjuntos $U$ y $V$ donde $U\cup V=\mathbb{R}^n\setminus B_{1}$ .
en $\mathbb{R}$ esto equivaldría a mostrar el conjunto $\mathbb{R}\setminus (-1,-1)$ está conectado. Esto equivale a $(-\infty,-1-\epsilon)\cup (1+\epsilon, \infty)$ . Recordemos que los intervalos, tanto cerrados como abiertos, están conectados. Para $\mathbb{R}^n$ podemos considerar el producto cartesiano $\mathbb{R}^n\setminus (-1,1)^{n}$ . Los productos cartesianos (finitos) de conjuntos conexos son conexos, lo que demuestra $\mathbb{R}^n\setminus B_{1}$ está conectado.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
1 votos
Depende del espacio métrico en el que te encuentres. En $\Bbb{R}$ con la métrica del valor absoluto no lo es.
0 votos
Supongo que esto se refiere a $\Bbb R^n$ para $n\ge2$ .
0 votos
¿Sabe que ese camino conectado implica estar conectado? Un camino entre dos puntos no debería ser difícil de escribir.
0 votos
Esto se refiere a R^2.
0 votos
Una forma sería $(1)$ primero demostrar que si un espacio métrico está conectado por un camino, entonces es conectado, y $(2)$ entonces demuestre que este espacio está conectado por un camino. O puedes demostrar esas dos proposiciones en el orden inverso.