Ejemplo contrario para bajar Teorema

Question

Actualmente estoy leyendo bajando teorema de Atiyah y Macdonald Álgebra Conmutativa de texto. Estoy tratando de encontrar un contraejemplo si las condiciones del teorema no están satisfechos. Hay un toque en mis notas de clase sobre contraejemplo pero soy incapaz de completar esta. Sugerencia va como sigue:

Deje $R= \dfrac{\mathbb R[x,y,z]}{(y^2-x^2-x^3)}$. Deje $S$ ser la integral de cierre de $R$ en su cociente de campo. Demostrar que va por teorema no se cumple entre el$R$$S$.

He calculado que el anillo de $S$ y este resulta ser el anillo de $S=R[\frac {y}{x}]$. Cualquier sugerencias/ideas para "adivinar" la cadena del primer ideales para que GD teorema no se cumple.

Answer 1

Tenga en cuenta que $R\simeq\mathbb R[t^2-1,t^3-t,z]$ por $x\mapsto t^2-1$, $y\mapsto t^3-t$, $z\mapsto z$, y $S=\mathbb R[t,z]$.

Ahora puedo cambiar la notación y establecer $S=k[t]$, e $R=k[t^2-1,t^3-t]$. (Tenga en cuenta que $R=\{f\in k[t]:f(-1)=f(1)\}$.) Por otra parte, $S[z]$ es la integral de cierre de $R[z]$ desde $S$ es la integral de cierre de $R$. Para mostrar que Va hacia Abajo falla por $R[z]\subset S[z]$ considera el primer ideales $\mathfrak p=(z-t-1)\cap R[z]$$Q=(t-1,z)\subset S[z]$.

Nos muestran que $Q$ se encuentra sobre $\mathfrak q=(t^2-1,t^3-t,z)\supseteq\mathfrak p$, pero $S[z]$ no tiene ningún prime en $Q$ se encuentra por encima del $\mathfrak p$.

Observar que también tenemos $(t+1,z)\cap R[z]=\mathfrak q$, lo $\mathfrak p\subseteq\mathfrak q$. Desde $z\in\mathfrak q\setminus\mathfrak p$ la inclusión es estricta. Supongamos que hay es $P\subset Q$ se encuentra por encima del $\mathfrak p$. A continuación, $P$ principal es generado por un polinomio irreducible, decir $f$, e $f(1,0)=0$. Tenemos $(f)\cap R[z]=(z-t-1)\cap R[z]$. Desde $(t^2-1)(z-t-1)\in(z-t-1)\cap R[z]$ se sigue que $(t^2-1)(z-t-1)\in(f)$, lo $f\mid(t^2-1)(z-t-1)$. De $f(1,0)=0$ obtenemos la única posibilidad de $f=t-1$. Ahora $(t^2-1)(t-1)\in(f)\cap R[z]$, lo $(t^2-1)(t-1)\in(z-t-1)$, una contradicción.

Answer 2

He seguido el espíritu de B. Heinzer, http://www.math.purdue.edu/~heinzer/docencia/math557/gdown.pdf.

Deje $k$ ser un (algebraicamente cerrado de característica cero, y $R = k[x,y,z]/(y^2-x^2-x^3)$. Vamos a mostrar que la bajada de la propiedad de falla entre el $R$ $S$ integral, cierre de $R$.

Deje $K = Q(R)$ a ser el campo de fracciones de $R$. Desde $\frac{y}{x} \in K$ satisface la ecuación $T^2 - 1 - x = 0$, $R[\frac{y}{x}] \subseteq S$. Observe que $R[ \frac{y}{x} ] \cong k[x,y,z,U]/ (xU- y, U^2 -1 -x) \cong k[z,U]$. Por lo tanto $S = R[\frac{y}{x}]$.

Calculamos el $J$ el Jacobiano ideal de $R$: $J = I_1 ([ -2x -3x^2 \quad 2y \quad 0]) = (2x+3x^2 , 2y)R = ( 2x+3x^2, y)R$. Desde $R$ es una completa intersección, la no-normal locus está determinado por $J$.

Deje $Q = (\frac{y}{x} - z)S$. A continuación,$y-xz , z^2 -1 -x \in Q \cap R$. Si $J \subseteq Q \cap R$,$y \in Q \cap R$. Entonces la altura de $Q \cap R$ al menos $2$, y esto es una contradicción. Por lo tanto, $p = Q \cap R$ no contiene $J$. Por lo tanto $R_p$ es un DVR (por lo que es integralmente cerrado), y tenemos $S \subseteq R_p = S_p$, es decir, $Q$ es el único primer mentir sobre $p$. De hecho, $p = (y-xz, z^2 - 1-x)R$. (Compruebe que el $R/ (y-xz, z^2-1-x)$ es isomorfo a $k[z]$.)

Vamos a construir un ideal maximal $M$ $S$ tal que $p \in M$, pero $Q \nsubseteq M$. Deje $M = (x,y,z+1, \frac{y}{x}-1)$. Es fácil mostrar que $Q \nsubseteq M$, pero $p \subseteq M$. Observe que $M \cap R$ es un ideal maximal, por lo $p_1= M \cap R \supsetneq p$. Pero no es el primer en $M$ que los contratos a $p$. (Recordemos que $Q$ es el único primer mentir sobre $p$, e $Q \nsubseteq M$.) De ahí el que va abajo de la propiedad se produce un error.

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• El argumento puede modificado para trabajar con los algebraicamente cerrado campo de $k$. El único lugar que el uso de la asunción es el uso de la Jacobiana ideal para decir $R_p$ es un DVR. Esto se puede comprobar fácilmente: Desde $x$ no están en $p$, $R_p = R[\frac{1}{x}]_p$. Pero en $R[\frac{1}{x}]$, $p R[\frac{1}{x}] = (y-xz, z^2 -1 -x)R[\frac{1}{x}] = (\frac{y}{x}-z, z^2 - 1 -x) R[\frac{1}{x}] = (\frac{y}{x} - z)R[\frac{1}{x}]$.

• Me gustaría comentar que una de las suposiciones sobre las características de $k$ ( $2 \neq 0$ ) con el fin de mostrar la (no)-contención $Q \nsubseteq M$.