significado de $k$ $k\cdot p$ aproximación en la física de materia condensada

Question

A veces, me encuentro con este tipo de prácticas en la materia condensada de la literatura:

Uno toma un $k\cdot p$ hamiltonianos $H(k)$, y el sustituto de $k$$\nabla_r$, y luego se resuelve la ecuación: $H(\nabla_r)\psi=E\psi$. Aquí hay algunos ejemplos:

1. En el grafeno, $v_F(\sigma\cdot k)\psi(k)=E\psi(k)$ es transformado a $v_F\sigma\cdot\nabla\psi(r)=E\psi(r)$.

2. En topológico aislante (por ejemplo, cuántico de espín de efecto hall), $k_x$ $H(k_x,k_y)$ es sustituido para obtener $H(\partial_x,k_y)$ $H(\partial_x,k_y)$ es utilizado para resolver borde de estado que se localiza en $x=0$ línea.

Me pregunto lo que justifica la práctica porque aquí $k$ es de celosía impulso, no la real. También, qué es lo que obtienen de la solución, dicen, $v_F\sigma\cdot\nabla\psi(r)=E\psi(r)$. Esta solución parece ser demasiado simple para representar una función de onda en el grafeno teniendo en cuenta el fuerte potencial de carbono.

Answer 1

Su ecuación $$ v_F (\sigma \cdot k)\psi(k) = E \psi(k) $$

parece ser que el "impulso de la representación" a través de la transformada de Fourier de la envolvente ecuación de la función de grafeno. En este caso, $k$ es sólo el wavevector introducido por la transformada de Fourier, no un "cristal de vector de onda", como en la de Bloch ansatz, y el $\psi_k$-s son los coeficientes de Fourier para la envolvente correspondiente función, $\psi(x) = \int{dk \;\psi(k) \;e^{-ik \cdot x}}$. Tenga en cuenta que el (periódico) sobre la función no es toda la función de onda. De hecho reemplaza el plano de la onda de fase factor en el Bloch ansatz con el fin de obtener un extendido de la función de onda ansatz que se puede aplicar también a los no-periódicas de los sistemas. El sobre de la función es generalmente se asume que varía suavemente a través de una celda unidad, y esta es la razón por la reversión de la transformada de Fourier se obtiene una engañosamente simple ecuación. La forma simple de la ecuación se deriva de un lugar involucrados análisis de perturbación como el menor término, véase, por ejemplo, esta revisión: El k · p método y su aplicación al grafeno, nanotubos de carbono y grafeno nanocintas: la ecuación de Dirac. Su eq.(190) es el equivalente a $k \cdot p$ ecuación de grafeno.

Así que, suponiendo que en efecto, nos lidiar con un "impulso representación" de la envolvente de la ecuación, vamos a invertir la transformada de Fourier. Multiplicar ambos lados de la ecuación anterior por $e^{-ik \cdot x}$ e integrar en $k$: $$ v_F \int{dk \;(\sigma \cdot k)\;\psi(k) e^{-ik \cdot x}} = E \int{dk \;\psi(k) e^{-ik \cdot x}} $$

Introducir $$ \psi(x) = \int{dk \; \psi(k)\; e^{-ik \cdot x}} $$

y tenga en cuenta que $$ i \;\nabla\psi(x) = \nabla \int{dk \;\psi(k)\; e^{-ik \cdot x}} = \int{dk\; k \;\psi(k)\; e^{-ik \cdot x}} $$

y $$ i\;\sigma \cdot \nabla\psi(x) = \int{dk \;(\sigma \cdot k) \;\psi(k) \;e^{-ik \cdot x}} $$

Por lo tanto $$ i \;v_F\; \sigma \cdot \nabla\psi(x) = E \;\psi(x) $$ como se requiere.

Un procedimiento similar puede ser aplicado a un general de Hamilton $H(k_x, k_y)$ actuando en un sobre (de onda) de la función de $\psi(k_x, k_y)$, siempre $H(k_x, k_y)$ es un polinomio de $k_x$, o tiene una adecuada expansión polinomial en $k_x$. Todo lo que se necesita es darse cuenta de que
$$ \int{dk_x \;k^n_x \;\psi(k_x, k_y)\; e^{-ik_x \cdot x}} = (i\partial_x)^n \int{dk_x \;\psi(k_x, k_y) \;e^{-ik_x \cdot x}} = (i\partial_x)^n \;\psi(x, k_y) $$