Cada orthonormal completo situado en un Hilbert espacio $H$ es una base orthonormal, si y sólo si el $H$ es finito dimensional.

Question

Demostrar que cualquier ortonormales conjunto en un espacio de Hilbert $H$ es linealmente independiente, y usar esto para mostrar que $H$ es finito dimensionales si y sólo si cada ortonormales conjunto es una base ortonormales.

Intento:

Tratando de mostrar que cada ortonormales conjunto es linealmente independiente es fácil si el conjunto es contable, pero si no, estoy incómoda, teniendo en cuenta innumerables sumas de ($\sum_{\alpha \in I} c_{\alpha}e_{\alpha} = 0$). De todos modos todo esto?

Una vez que muestran independencia lineal, ¿cómo demostrar la afirmación de que la está usando?

Answer 1

Como se ha mencionado en los comentarios, que su uso del término "ortonormales base" no es convencional : por lo general una completa ortonormales conjunto es una base ortonormales. Sin embargo, si el espacio es infinito dimensional, entonces, como un conjunto no puede ser una base de Hamel :

1. Cualquier ortonormales conjunto es linealmente independiente: no necesita incontables sumas aquí! Si $A$ es un ortonormales conjunto y $\{e_1,e_2,\ldots, e_n\} \subset A$ $\{\alpha_1,\alpha_2,\ldots, \alpha_n\}$ escalares, entonces $$ \sum_{i=1}^n \alpha_i e_i = 0 \Rightarrow \alpha_j = \langle \sum_{i=1}^n \alpha_i e_i, e_j\rangle = 0 \quad\forall 1\leq j\leq n $$ Por lo tanto, $A$ es linealmente independiente.

2. Si $H$ es un finito dimensional espacio de Hilbert, entonces cada ortonormales conjunto ha $\dim(H)$ elementos. Ya que son linealmente independientes, por (1), deben constituir una base de Hamel.

3. Si $H$ es de infinitas dimensiones y $A$ es una base ortonormales, entonces $A$ debe ser infinita (como antes). Así que elige una contables subconjunto $\{e_n : n\in \mathbb{N}\} \subset A$. Entonces la serie $$ \sum_{n=1}^{\infty} \left\| \frac{e_n}{n^2} \right\| $$ converge. Desde $H$ es completa, no es un vector $x\in H$ tal que $$ x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e_n}{n^2} $$ Compruebe que $x$ no puede ser expresado como una combinación lineal finita de elementos de $A$. Por lo tanto, $A$ no puede ser una base de Hamel.