Mostrando que $\lim\sup s_n = \lim\inf s_n =s$

Question

Tengo el siguiente problema:

Deje $s$ ser un número real y $(s_n)$ ser una secuencia de números reales. Supongamos que para cualquier subsequence $(s_{n_{k}})$ de $(s_n)$, $(s_{n_{k}})$ tiene una larga $(s_{n_{k_{l}}}$) satisfactorio $$ \lim_{l \to \infty} s_{n_{k_{l}}}=s. \qquad (1)$$ Por favor, muestran que $\lim\sup s_n = \lim \inf s_n = s$

No sé si mi prueba está a la derecha. Tengo lo siguiente:

Deje $S$ el conjunto de subsequential límites de $(s_n)$. A continuación, $S$ contiene $s$ ya que es el límite de algunas larga de $(s_n)$, es decir,$(s_{n_{k_{l}}})$, que es una larga de $(s_n)$. Ahora, puedo reclamar $S$ sólo contiene $s$. Supongamos, como una contradicción, que $S$ contiene algún otro elemento $t$. Que implica, que existe una larga $(s_{n_{t}})$ con límite de $t$. Esto implica que cualquier subsequence de $(s_{n_{t}})$, es decir, $(s_{n_{t_{p}}})$ converge a $t$. Pero, que es una contradicción con la suposición de que cualquier subsequence de $(s_n)$ tiene una larga que converge a $s$. Por lo tanto, $S$ tiene sólo el elemento $s$. Por lo tanto, $\lim\sup s_n=\sup S =s $$\lim\inf s_n=\inf S=s$, lo $\lim\sup s_n = \lim \inf s_n = s$.

Sería una completa prueba válida?

Answer 1

Su idea es correcta. Pero al principio de contradicción debe asumir $t\neq s$. Luego debe señaló que por supuesto existen $(s_{n_{t_{p}}}) \rightarrow s$ y por lo tanto $s=t$ y esta es la contradicción.

Pero tal vez soy demasiado exigente, buen trabajo!

Answer 2

Aquí es otra manera.

En primer lugar mostrar que $s_n \to s$:

Que $\epsilon>0$ y que $A = \{ n | |s_n-s| \ge \epsilon \}$. $A$ Debe ser finito, de lo contrario podríamos encontrar un subsequence satisfacción $|s_{n_k}-s| \ge \epsilon$ % todo $k$, lo que contradiría (1) inmediatamente. Por lo tanto, vemos que el $s_n \to s$.

Luego mostrar eso si $s_n \to s$ que $\liminf_n s_n = \limsup_n s_n = s$:

Que $\epsilon>0$ y elegir $N$ tal que $n \ge N$ tenemos $|s_n-s| < \epsilon$. En particular, tenemos $s-\epsilon < s_n < s+ \epsilon$ $n \ge N$. Por lo tanto tenemos $s-\epsilon \le \inf_{n \ge N} s_n \le \sup_{n \ge N} s_n \le s+ \epsilon$ y $s-\epsilon \le \liminf_n s_n \le \limsup_n s_n \le s+ \epsilon$. $\epsilon>0$ Es arbitrario, tenemos el resultado deseado.