¿Qué se entiende por límite de conjuntos?

Question

Estoy teniendo un momento difícil agarrar el límite de sistemas en espacio de álgebra y probabilidad de $\sigma$. Lo que establece la notación $\lim_{n\rightarrow\infty}S_n=S$ quiere decir cuando todos estos $S_n$. Tengo una idea intuitiva. Pero entiendo límite en análisis real con el concepto de $\delta$$\epsilon$. ¿Cuál es la definición rigurosa de límite aplicado a sistemas, una definición paralela a la notación de $\delta$ $\epsilon$aplicado al análisis real?

Citando uno o dos ejemplos será grande.

Answer 1

Cuando todo lo que tienes es la materia prima de conjunto de la estructura, el único límite concepto que realmente tiene sentido es:

$S$ es el límite de la secuencia de $S_1, S_2, S_3,\ldots$ fib $$ \forall x\; \exists N\in\mathbb N\; \forall n>N : x\in S\Leftrightarrow x \in S_n $$

En otras palabras, cada elemento es en todos, pero un número finito de $S_n$ (en cuyo caso se está en el límite establecido), o en sólo un número finito de $S_n$ (en cuyo caso no está en el límite establecido). Si hay incluso una $x$ que es a la vez presente en infinidad de de la $S_n$ y ausente de los infinitamente muchos de ellos, a continuación, la secuencia no tiene un límite.

Esta noción corresponde a un pointwise límite de funciones de los indicadores.

Si la secuencia de conjuntos es creciente, entonces el límite es simplemente la unión de todos los conjuntos. Si es decreciente, a continuación, el límite es la intersección de todos los conjuntos.

Answer 2

Tenemos (véase e. g. Billingsley, Probiability y medir, 3a edición, página 52), que el limes superior y el limes inferior se definen - como para cualquier espacio ordenado - en el juego de poder:

Definición. Deje $X$ ser un conjunto, $(S_n)$ una secuencia en $\mathfrak P(X)$. Definimos
(1) El limes superior de $(S_n)$ es el conjunto que contiene todos los elementos que están con frecuencia en $S_n$, que es en infinidad de $S_n$: $$ \limsup S_n := \bigcap_{n\ge 1} \bigcup_{k\ge n} S_k $$ (2) El limes inferior de $(S_n)$ es el conjunto que contiene todos los elementos que son , finalmente, en $S_n$, que está en todos, pero un número finito de $S_n$: $$ \liminf S_n := \bigcup_{n\ge 1} \bigcap_{k\ge n} S_k $$ (3) Si $\liminf S_n$ $\liminf S_n$ coinciden, decimos, $(S_n)$ converge y escribir $$ \lim S_n := \limsup S_n = \liminf S_n. $$

Ejemplo: Si $S_n$ es montonically en aumento, a continuación, $\bigcup_{k\ge n} S_k$ es igual para todos los $n$, por lo tanto $\limsup S_n = \bigcup_{k\ge 1} S_k$, en el otro lado, $\bigcap_{k\ge n} S_k = S_n$, por lo tanto $\liminf S_n = \bigcup_{n\ge 1} S_n$$\lim S_n = \bigcup_n S_n$.

Answer 3

Si usted toma un $x_1,x_2,x_3,\ldots$ de la secuencia de números verdaderos, entonces usted puede encontrar $\displaystyle \liminf_{n\to\infty} x_n$ y $\displaystyle \limsup_{n\to\infty} x_n$. Si estos son iguales entre sí se puede llamar este valor $\displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n$.

Se puede aplicar la misma idea se aplica a conjuntos. $\displaystyle \liminf_{n \rightarrow \infty} S_n = \bigcup_{n \ge 1} \bigcap_{j \geq n} S_j$ y $\displaystyle\limsup_{n \rightarrow \infty} S_n = \bigcap_{n \ge 1} \bigcup_{j \geq n} S_j$ y si estas son iguales la resultante conjunto de $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} S_n$.

Como con las secuencias de números verdaderos, mayoría de las secuencias de conjuntos (en el sentido de handwaving) no tiene un límite.