Encontrar el adjunto de un operador

Question

Esto es de mi tarea, estoy totalmente perdido en cuanto a cómo proceder. Considerar definido el operador $T: L^2([0,1]) \rightarrow L^2([0,1])$ $(Tf)(x) = \int^x_0 f(s) \ ds$ ¿qué es el adjunto de $T$?

Este operador no parece ser una proyección ortogonal, tampoco es uno mismo-adjoint. ¿Cómo se encuentra el adjunto de un operador en general? Gracias de antemano!

Answer 1

Usando el hecho de que

$$ \langle Tf , g \rangle=\langle f , T^{*}g \rangle, $$

Tenemos

$$ \langle Tf, g\rangle = \int_{0}^{1} (Tf)(t)g(t)\,dt =\int_{0}^{1} \int_{0}^{t} f(\tau)\,d \tau\, g(t)\, dt = \int_{0}^{1} f(\tau)\, \left(\int_{\tau}^{1} g(t) \,dt\right)\, d \tau $$ $$ = \langle f, T^{*}g\rangle $$

Desde la última integral, podemos ver que el adjunto es dada por

$$ (T^{*}f) (x) = \int_{x}^{1} f(s)\, ds $$

Answer 2

Podemos encontrar adjunto para operadores de núcleo, es decir, operadores dados % $ $$T(f)(x)=\int_{[0,1]}K(x,y)f(y)dy,$$K$satisfactoria buenas condiciones. Debemos tener $$\int_{[0,1]}T^*(f)(x)\overline{g(x)}dx=\int_{[0,1]}f(x)\overline{T(g)(x)}dx.$ $ desde $$\int_{[0,1]^2}f(x)\overline{K(x,y)g(y)}dxdy=\int_{[0,1]}\left(\int_{[0,1]}\widetilde K(y,x)f(x)dx\right)\overline{g(y)}dy,$ $ donde $\widetilde K(x,y)=\overline{K(y,x)}$. Puesto que es cierto para cualquier $g$, tenemos %#% $ #%