¿Cómo demostrar que la proyección paralela de un elipsoide es una elipse?

Question

Tomemos como ejemplo el siguiente elipsoide en forma implícita:

$$x^2 + 2 y^2 + 3 z^2 + x y + y z - 2 xz = 5$$

que muestra:

La proyección paralela del elipsoide en $xoy$ plano de coordenadas se puede obtener como:

$$8 x^2 + 16 x y+23 y^2=60$$

¿Es posible demostrarlo?

1. La proyección paralela de un elipsoide es siempre una elipse y ¿cómo?

Supongo que esto debería poder generalizarse en:

2. la proyección en perspectiva de un elipsoide es una curva cónica.

¿Cómo demostrarlo?

En la geometría proyectiva, la forma cuadrática de las cónicas es útil en este tipo de pruebas. Esta parece un poco más difícil.

Answer 1

$\newcommand{\dd}{\partial}$ No hay pretensión de elegancia, pero las coordenadas cartesianas manejan ambas cuestiones, y las respuestas son "sí":

Hasta la traslación, un elipsoide general puede escribirse en la forma $$Ax^{2} + By^{2} + Cz^{2} + 2(Dxy + Exz + Fyz) = 1 \tag{1}$$ para alguna matriz de coeficientes positiva-definida $$\left[\begin{array}{@{}ccc@{}} A & D & E \\ D & B & F \\ E & F & C \\ \end{array}\right].$$

1. Para definirlo, proyectar el elipsoide hacia el $(x, y)$ -a lo largo del $z$ -y llamamos a la imagen sombra . Un punto $p = (x, y, z)$ en el elipsoide se proyecta al límite de la sombra si y sólo si el plano tangente al elipsoide en $p$ es paralelo a la $z$ -eje, si y sólo si $$0 = \frac{\dd}{\dd z}\bigl(Ax^{2} + By^{2} + Cz^{2} + 2(Dxy + Exz + Fyz)\bigr) = 2(Ex + Fy + Cz).$$ Es decir, el límite de la sombra del elipsoide es la sombra de una sección plana de un elipsoide (una elipse), por lo que ella misma es una elipse.

2. Dejemos que $p_{0} = (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ sea un punto arbitrario fuera del elipsoide. El rayo desde $p_{0}$ a un punto $p = (x, y, z)$ en el elipsoide es tangente al elipsoide si y sólo si la normal al elipsoide en $p$ es ortogonal al rayo, si y sólo si $$\nabla\bigl(Ax^{2} + By^{2} + Cz^{2} + 2(Dxy + Exz + Fyz)\bigr) \cdot (p - p_{0}) = 0,$$ o (después de dividir por $2$ ) $$(Ax + Dy + Ez)(x - x_{0}) + (Dx + By + Fz)(y - y_{0}) + (Ex + Fy + Cz)(z - z_{0}) = 0. \tag{2}$$ Tras la expansión, los términos de segundo orden son precisamente el lado izquierdo de (1); es decir, (2) vuelve a ser una ecuación lineal. En consecuencia, el "horizonte" del elipsoide desde un centro de proyección exterior arbitrario es una sección plana, por lo que se proyecta a una elipse (posiblemente degenerada) independientemente del plano de la "pantalla".