\newcommand{\dd}{\partial} No hay pretensión de elegancia, pero las coordenadas cartesianas manejan ambas cuestiones, y las respuestas son "sí":
Hasta la traslación, un elipsoide general puede escribirse en la forma Ax^{2} + By^{2} + Cz^{2} + 2(Dxy + Exz + Fyz) = 1 \tag{1} para alguna matriz de coeficientes positiva-definida \left[\begin{array}{@{}ccc@{}} A & D & E \\ D & B & F \\ E & F & C \\ \end{array}\right].
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Para definirlo, proyectar el elipsoide hacia el (x, y) -a lo largo del z -y llamamos a la imagen sombra . Un punto p = (x, y, z) en el elipsoide se proyecta al límite de la sombra si y sólo si el plano tangente al elipsoide en p es paralelo a la z -eje, si y sólo si 0 = \frac{\dd}{\dd z}\bigl(Ax^{2} + By^{2} + Cz^{2} + 2(Dxy + Exz + Fyz)\bigr) = 2(Ex + Fy + Cz). Es decir, el límite de la sombra del elipsoide es la sombra de una sección plana de un elipsoide (una elipse), por lo que ella misma es una elipse.
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Dejemos que p_{0} = (x_{0}, y_{0}, z_{0}) sea un punto arbitrario fuera del elipsoide. El rayo desde p_{0} a un punto p = (x, y, z) en el elipsoide es tangente al elipsoide si y sólo si la normal al elipsoide en p es ortogonal al rayo, si y sólo si \nabla\bigl(Ax^{2} + By^{2} + Cz^{2} + 2(Dxy + Exz + Fyz)\bigr) \cdot (p - p_{0}) = 0, o (después de dividir por 2 ) (Ax + Dy + Ez)(x - x_{0}) + (Dx + By + Fz)(y - y_{0}) + (Ex + Fy + Cz)(z - z_{0}) = 0. \tag{2} Tras la expansión, los términos de segundo orden son precisamente el lado izquierdo de (1); es decir, (2) vuelve a ser una ecuación lineal. En consecuencia, el "horizonte" del elipsoide desde un centro de proyección exterior arbitrario es una sección plana, por lo que se proyecta a una elipse (posiblemente degenerada) independientemente del plano de la "pantalla".
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Un plano está definido por un vector v y un desplazamiento b , es decir f(x)=v⋅x−b=0 . La proyección paralela equivale a eliminar cualquier extensión/apoyo en el v dirección. Una elipse se puede parametrizar en términos de sus 3 ejes principales y sus longitudes de eje, así que podrías transformar en esa representación y luego aplicar un operador de proyección en cada eje y, con suerte, terminas con la parametrización para el interior y el límite de una elipse 2d. Es un enfoque general, creo, pero parece algo poco elegante. Tampoco responde a la parte 2.
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He mostrado en mi respuesta a esta pregunta : ( math.stackexchange.com/q/2438495 ) que existe una conexión con un determinado complemento de Schur de la matriz del elipsoide.
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Basta con demostrarlo para la esfera unitaria, ya que el caso general puede transformarse en ésta mediante una afinidad.