¿Cuál es la antiderivada de $\left(\frac{dy}{dx}\right)^3$

Question

Tengo la siguiente ecuación diferencial:

$$\frac{dy}{dx} + \left(\frac{dy}{dx}\right)^3 = C$$

¿Cómo se soluciona esto? Intenté integrar ambos lados y obtuve

$$y + \int\left(\frac{dy}{dx}\right)^3\;dx = Cx + D$$

¿Qué es? $$\int\left(\frac{dy}{dx}\right)^3\;dx ?$$

Gracias por la ayuda =)

Answer 1

Aquí tenemos una solución que no requiere que exista la segunda derivada:

Tenga en cuenta que con $u(x)=y'(x)$ se obtiene la ecuación $u(x)+(u(x))^3=C$ de lo que se puede concluir que $u(x)$ es una constante, digamos $D$ . Pero entonces $y(x)=\int u(x)\,dx=Dx+E$ , donde $E$ es otra constante.

Ahora puede insertar $y'(x)=D$ en su ecuación diferencial para encontrar la constante $D$ , $D+D^3=C$ (las soluciones generales (hay tres, una de ellas es real) no parecen demasiado bonitas). La constante $E$ no se puede determinar con la información que tiene.

Answer 2

Sugerencia $$(y'+(y')^3)'=0\Longrightarrow y''+3y'^2y''=0$$ $$y''(1+3y'^2)=0$$ así que $y''=0,$ o $3y'^2=-1$ entonces es fácil encontrarlo