Límite de $\lim\limits_{n\to \infty}\left(\frac{1^\frac{1}{3}+2^\frac{1}{3}+3^\frac{1}{3}+\dots+n^\frac{1}{3}}{n\cdot n^\frac{1}{3}} \right)$

Question

Quiero evaluar este límite. $$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{1^\frac{1}{3}+2^\frac{1}{3}+3^\frac{1}{3}+\dots+n^\frac{1}{3}}{n\cdot n^\frac{1}{3}} \right)$ $ Lo que hice es:
¿Set $f(x)=x^\frac{1}{3}$ $$f(1)+\int^\infty_0 x^\frac{1}{3} \, dx<f(1)+f(2)+\dots+f(n)<f(n)+\int^\infty_0 x^\frac{1}{3}\,dx$ $how me puede ayudar a evaluar este límite?
¿Puedo convertir las expresiones de la derecha se fueron a límites? o la desigualdad todo a la expresión del límite.
¡Necesito algunos consejos, gracias!

Answer 1

Sugerencia: integral $[0,\infty)$ no mira a la derecha me parece mejor que observar su $f$ como sobre\begin{align*} \frac{1^{1/3} + \cdots + n^{1/3}}{n \cdot n^{1/3}} &= \frac{f(1/n) + f(2/n) + \cdots + f(1)}{n}\\ &= \sum_{i=1}^n f(i/n) \cdot \frac 1n \end{align*}