Demostrando así definedness de adición en los números reales constrructed de secuencias de cauchy.

Question

Mientras que el estudio de análisis real, me confundí en el siguiente problema.

Supongamos que construir los números reales como clases de equivalencia de secuencias de cauchy. Deje $x = (a_n)$ $y= (b_n)$ dos secuencias de cauchy, en representación de los números reales $x$$y$.

Además de la operación $x+y$ se define como $x+y = (a_n + b_n)$.

Para comprobar si esta operación está bien definido, sustituimos $x = (a_n)$ con algún número real $x' = (c_n)$ y compruebe que $x+y = x'+y$. También repetimos por $y$. es decir, podemos comprobar que $x+y = x+y'$.

Pregunta:

En lugar de comprobar que $x+y = x+y'$ $x'+y = x+y$ por separado, sería suficiente para comprobar que el $x+y = x' + y'$ en una sola operación con el fin de demostrar que la suma es bien definida para los números reales. Haría daño a la comprobación de bien definedness? Puede cualquiera me explique la lógica detrás ?

Answer 1

Tienes que diferenciar tipográficamente entre (a) y secuencias (b) clases de equivalencia de las secuencias, es decir, los números reales.

Escribir $x$ para la secuencia de Cauchy $(x_n)_{n\geq1}$ $[x]$ para la equivalencia de la clase representada por $x$.

Desde la adición de números reales se describe en términos de los representantes más: $$[x]+[y]:=[x+y]\ ,$$ tenemos que comprobar si esta realidad se define una operación binaria en ${\mathbb R}$. Es suficiente para demostrar que $$x\sim x'\qquad\Rightarrow\qquad x+y\quad \sim\quad x'+y\ ,$$ para entonces, podemos argumentar lo siguiente: Cuando el $x'\sim x$$y'\sim y$, a continuación, utilizando conmutatividad tenemos la siguiente cadena: $$x+y\ \sim x'+y\ =\ y+x'\ \sim \ y'+x'\ =x'+y'\ .$$

Answer 2

Sin duda se puede comprobar que el funcionamiento es bien definida por la comprobación de $x+y=x'+y'$ donde $x$ $x'$ son equivalentes y $y$ $y'$ son equivalentes.

Vamos $(x_n)$, $(x_n')$, $(y_n)$ y $(y'_n)$ donde$x_n-x_n'\to 0$$y_n-y_n' \to 0$, es decir, son equivalentes.

De modo ordenado para demostrar la afirmación de que tenemos que mostrar que $(x_n+y_n) -(x_n'+y_n')\to 0$, es decir, $x_n+y_n$ es equivalente a $x_n'+y_n'$. Dado $\varepsilon>0$, elija $N$ tal que $d(x_n,x'_n)<\varepsilon/2$ $d(y_n,y_n')<\varepsilon/2$ al mismo tiempo para todos los $n\ge N$. Así

\begin{align}|x_n+y_n-(x_n'+y_n')|=|x_n-x_n'+y_n-y_n'|\\\le |x_n-x_n'|+|y_n-y_n'|\\< \varepsilon \end{align}

Por lo tanto, $(x_n+y_n)$ $(x_n'+y_n')$ son equivalentes y que la suma es independiente de la elección de los representantes.