Demostrar que $f_n$ converge a $f$ $L_1$ norma dado $\int f_n \to \int f$

Question

una pregunta de tarea del curso de teoría de la medida y integraiton.

Supongamos $f_n \in L_1(\mathbb R^d)$ por cada $n\in\mathbb N$, $f_n\geq 0$, AE #% de %#% y $f_n\to f$.
Demostrar que $\int f_n\to\int f<\infty$

(Sugerencia: ($\int|f_n-f| \to 0$. Utilizar el teorema de convergencia dominada)

Estoy pensando en AE #% de %#% y $f_n - f)_-\leq f$. Si puedo mostrar $|f_n -f | \to 0$ y $|f_n-f|=(f_n - f)_+ + (fn-f)_-$. Entonces desde % son integrables por DCT, $(f_n-f)_+ ≤ f$ $(f_n-f)_-≤f$y $f_n$. Creo que mi enfoque podría ser erróneo...

Answer 1

Sugerencia:

Ir a las partes positivas y negativas no es realmente necesario. Aquí es otro tipo de enfoque que es también bastante sencillo.

Indicar $g_{n}=|f|+|f_{n}|-|f-f_{n}|$ % todo $n$, que son no negativos (por desigualdad de triángulo) y medibles. Aplicar el lema de Fatou y utilizar el hecho de que $\liminf(-a_{n})=-\limsup(a_{n})$.

Si les calculé correctamente, entonces lo que obtendrás es $$\liminf_{n\to\infty}\int g_{n}=\|f\|-\limsup_{n\to\infty} \|f-f_{n}\|$$ and $% $ $\int \liminf_{n\to\infty} g_{n} =\|f\|,$

donde $\|\cdot\|$ es el # de $L^{1}$-norm. ¿Ven cómo esto implica su resultado?

Answer 2

Enfoque de Thomas E. está bien, pero usted puede conseguir esto con un uso distinto de la desigualdad de triángulo un poco más fácil usando el % de desigualdad $0 \leq |a - b| + |a| - |b| \leq 2|a|$. Prueba de ello es sencilla: tenemos $|a-b|+|a|-|b|\leq2|a|$ desde $|a-b|\leq|a|+|b|$. Además, $||a|-|b||\leq|a-b|$ tan eso si $|a|\leq|b|$ y $0\leq|a-b|+|a|-|b|$. Del mismo modo si $|b|\leq|a|$ entonces tiene $0 \leq |a-b| + |a|-|b|$.

Aplicar el teorema de convergencia dominada a $0 \leq |f_n - f| + f - f_n \leq 2f$ (ya que en su caso todo es positivo) y el resultado sigue.