$3^2 \ 5^2 \ldots (p-2)^2 \equiv (-1)^{\frac{p+1}{2}} \ (\mathrm{mod} \ p)$

Question

Posible duplicado:
¿Por qué es la Plaza de todas las probabilidades menos de un extraño % prime $p$congruente con $(-1)^{(p+1)/(2)}\pmod p$?

¿Por qué es $3^2 \ 5^2 \ldots (p-2)^2 \equiv (-1)^{\frac{p+1}{2}} \ (\mathrm{mod} \ p)$, donde $p$ es un primo impar?

Parece que no puedo entender. Cualquier ayuda sería apreciada. ¡Gracias!

Answer 1

Desde $a\equiv -(p-a)\pmod{p}$, podemos escribir

\begin{align} 3^2 \cdot 5^2 \cdots (p-2)^2&\equiv \left(3\cdot 5\cdots (p-2)\right)\times\left((p-3)\cdot (p-5)\cdots 2\right)\times (-1)^{(p-3)/2}\\ &\equiv (-1)^{(p-3)/2}(2\cdot 3\cdots (p-2))\cdot (p-1)\cdot (p-1)\\ &\equiv (-1)^{(p-1)/2}(p-1)!\\ &\equiv (-1)^{(p+1)/2}\pmod{p}, \end{align} donde en el tercer paso hemos introducido un factor de $(p-1)(p-1)\equiv -1\cdot -1\equiv 1$, y en el último paso utilizamos el teorema de Wilson.