¿$\mathbb{P}$ divisible en infinitamente muchos subconjuntos $S_i$ de consecutivos ceba donde $\sum S_i = \text{prime}$?

Question

Deje $\mathbb{P}$ ser el conjunto de todos los números primos, $p_n$ $n^{\text{th}}$ el primer y el $S_i$ un subconjunto de a $\mathbb{P}$, que consiste en la menor cantidad de números primos consecutivos para que $\sum S_i = \text{prime}$.

Regla 1: si el último prime de $S_i$$p_n$, luego el primer presidente de $S_{i+1}$ debe $p_{n+1}$.

Regla 2: $|S_i| \ge 2 $

Si empezamos con el primero de los números primos tenemos $$S_1 = \{ 2,3 \} \quad \to \quad \sum S_1 = 5$$

seguido por

$$S_2 = \{ 5,7,11 \} \quad \to \quad \sum S_2 = 23$$ $$S_3 = \{ 13,17,19, 23, 29 \} \quad \to \quad \sum S_3 = 101$$ $$S_4 = \{ 31,37,41 \} \quad \to \quad \sum S_4 = 109$$ $$\dots$$

Después de calcular los subconjuntos para el primer $10^4$ primos, me siento inclinado a decir que hay infinitamente muchos de estos subconjuntos. Hay alguna manera podemos demostrar esto?

Answer 1

PARI/GP-programa muestra las sumas con sumandos más marcas de verificación que cada suma anterior.

? maxi=0;s=0;p=1;while(p<10^9,s=0;p=nextprime(p+1);s=s+p;p=nextprime(p+1);s=s+p;
l=2;while(isprime(s)==0,p=nextprime(p+1);s=s+p;l=l+1);if(l>maxi,maxi=l;print(p,"
  ",s,"  ",l)))
3  5  2
11  23  3
29  101  5
127  757  7
173  1367  9
983  44843  57
15641  936697  61
77069  5747459  75
102329  12913867  127
848273  119470049  141
2090071  323789369  155
2501357  422521873  169
4053473  765829241  189
9145921  1801447657  197
17298467  3615013973  209
30961577  6594416419  213
39716671  9015231847  227
45057613  11849608241  263
72835471  24981493099  343
491344573  178356736889  363
?

La última suma tiene solamente $11$ sumandos marcas de verificación.

? print(p," ",s,"  ",l)
1000000009 10999998463  11
?

El conjectur siguiente implicaría su conjetura.

La secuencia de sumas parciales de números primos consecutivos, a partir de una arbitraria primera $p$, contiene un primo mayor que $p$ sí mismo.