Que $F: \mathbb{P}^2 --\to \mathbb{P}^2$ dado por los derivados parciales de $x^2y + x^2z + y^3$ $$ [x: y:z] \mapsto [2 x (y + z): x ^ 2 + 3y ^ 2:x ^ 2] $$ ¿Cómo puedo encontrar que el ideal de lo subsistema de $\mathbb{P}^2\times\mathbb{P}^2$ que representa el cierre de la gráfica de $F$ donde está bien definido?
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Deje $\phi [f_0 : \ldots: f_m] : P^n \to P^m$ ser una función racional, con $f_i \in O(k)$ algunos $k$. Deje $x_i$ ser la homogeneidad de las coordenadas en $P^n$, e $y_i$ la homogeneidad de las coordenadas en $P^m$.
Definir la gráfica de $\phi$, $\Gamma_{\phi}$, para ser el cierre de la $P^n \times P^m$ del conjunto $\{ (u, \phi(u)) : u \U \} \subconjunto P^n \times P^m $, where $U$ is a nonempty open set on which $\phi$ is regular. As a scheme $\Gamma_{\phi}$ es teniendo en cuenta la reducción inducida por subscheme estructura.
Deje $Y$ ser el esquema de corte por $g_{ij} = y_i f_j - y_j f_i= 0$, para todos los pares de $i,j = 0 \ldots m$.
Reivindicación 1: la proyección sobre La primera coordenada del mapa de $\pi : Y \to P^n$ coincide con el golpe del mapa $\rho: Bl_X P^n$ donde $X$ es el subscheme $V(f_0, \ldots, f_k)$$P^n$.
Reivindicación 2: Las ecuaciones $g_{ij} = y_i f_j - y_j f_i= 0$, para todos los pares de $i,j = 0 \ldots m$, recorte $\Gamma_\phi$$P^n \times P^m$.
Corolario: El gráfico (con proyección) es el golpe (con su proyección). Por lo tanto, el golpe de ups resolver racional de los mapas, en el sentido de que la projetion de la gráfica en el segundo factor es regular, y de acuerdo con lo racional mapa en su dominio de definición.
Prueba de Reclamación 1:
Cubrimos $P^n$ afín con parches $Spec B$ (es decir $D(x_i)$), donde $X \cap Spec B = X' = V(g_0,\ldots, g_m)$ - me refiero, en particular, que $f_i$ tira de nuevo a $g_i$.
Lo siguiente que queremos demostrar / que recordar que en estos parches, $Bl_{X'} Spec B = Spec B \times Proj[Y_0, \ldots, Y_m] / (Y_i g_j = Y_j g_i)$:
En 22.3.1 en Ravi Vakil notas, se muestra que la $Bl_{V(x_1, \ldots, x_n)} spec \mathbb{Z} [x_1,\ldots, x_n]$ es el locus en $spec \mathbb{Z} [x_1, \ldots, x_n] \times Proj \mathbb{Z} [X_1, \ldots, X_n]$ corta por $x_i X_j - x_j X_i = 0$.
Considere la posibilidad de un mapa de $\mathbb{Z} [e_1, \ldots, e_m] \to B$, el envío de $e_i$$g_i$, por lo que el $X' = V(g_i)$ es el esquema teórico de la retirada de el origen. Por lo tanto sabemos que el $Bl_{X'} Spec B = Spec B \times Proj[Y_0, \ldots, Y_m] / (Y_i g_j = Y_j g_i)$, por lo que se llama el golpe-hasta el cierre lema en Ravi Vakil notas.
Debido a la connaturalidad del golpe, ya que se demostró que $Bl_X P^n \to P^n$ tira hacia atrás de $Spec B \times Proj[Y_0, \ldots, Y_m] / (Y_i g_j = Y_j g_i) \to Spec B$ sobre el parche $Spec B \to P^n$, y ya sabemos que $P^n \times Proj[Y_0, \ldots, Y_m] / (Y_i f_j = Y_j f_i) \to P^n$ tira de nuevo a la misma (literalmente el mismo esquema sobre la misma base, con el mismo mapa, por lo que el descenso de la condición en los traslapos es automática espero / creo), podemos componer un isomorfismo desde el golpe hasta el $V(f_i Y_j - f_j Y_i | i,j = 0 \ldots m) \subset P^n \times P^m$.
La Prueba En La Reivindicación 2:
Deje $Y = V(g_{ij})$.
a) en Primer lugar tenga en cuenta que el $g_{ij}$ son bihomogeneous de bi-grado $(k,1)$ y, por lo tanto, en particular, son globales secciones de $O(k) \boxtimes O(1)$. Por lo tanto definen un subscheme $V(g_{ij}) = Y$.
Pasamos a la afín revisión de la forma $D(f_i) \times A^m$ definido por la configuración de $y_i \not = 0$. En esta revisión, nuestra función es regular y toma la forma $\phi_i = (f_0 / f_i, \ldots , f_i / f_i = 1, \ldots, f_m / f_i)$. Las ecuaciones $g_{ij}= y_i f_j - y_j f_i = 0$ puede ser reescrito $\frac{y_j}{y_i} = \frac{f_j}{f_i}$. Así, se recorta la imagen de $\phi_i$$D(f_i) \times A^m$.
Tenga en cuenta que $\cup D(f_i) = U \subset P^n$, por lo tanto hemos demostrado que $im(\phi) = \Gamma_{\phi} \cap (U \times P^m = V(g_{ij}) \cap (U \times P^m)$. Esto implica que $Y \supset \Gamma_{\phi}$, ya que este último es el cierre de este conjunto.
b) Puesto que sabemos que $Y = Bl_X P^n$, sabemos que $Y$ es de dimensión n y la integral (si hemos de volar un esquema integral, es todavía integral - a excepción de una muy estúpida caso, que es cuando nos explotan $Z$ $Z$ ... el conjunto vacío no es irreductible a la derecha??). Por lo tanto $Y = X$, ya que si tenemos una contención de los dos integral de los esquemas de la misma dimensión, son iguales.
