Encontrar la forma cerrada para una secuencia de

Question

Mi maestro no es muy grande con la explicación de su obra y el libro que tiene no cubre nada como esto. Él quiere que nosotros para encontrar una forma cerrada para la secuencia definida por:

$P_{0} = 0$

$P_{1} = 1$

$\vdots$

$P_{n} = -2P_{n-1} + 15P_{n-2}$

No estoy pidiendo una recta hasta la solución, solo tengo ni idea de por dónde empezar. Las notas que él nos dio dicen:

Vamos a considerar un lineal de la diferencia de la ecuación que da la La secuencia de Fibonacci.

$y(k) + A_1y(k -1) + A_2y(k -2) = \beta$

Esa es la forma general de una ecuación en las diferencias en la que cada término se forma a partir de la dos de los términos que lo preceden. Nos especializamos esto para nuestra secuencia de Fibonacci mediante el establecimiento $A_1 = 1, $ >$ >A_2 = 1,$ and $ \beta = 0$. Con algunos cambios, obtenemos

$y(k) = y(k - 1) + y(k - 2)$

que se parece más a la forma general de la secuencia de Fibonacci.

Para resolver la diferencia ecuación, tratamos la solución de $y(k) = Br^k$. La contramarcha que, nos obtener

$Br^{k-2} (r^2 - r - 1) = 0$

No tengo idea de donde la $Br^k$ viene ni lo que significa, y no voy a explicarlo en cualquier tipo de términos que pueda entender.

Si alguien me pudiera ayudar con el principio básico detrás de la búsqueda de una forma cerrada con la información dada estaría eternamente agradecido.

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EDIT: Utilizando la información proporcionada (gracias chicos tanto) que se me ocurrió

$y(k) = \frac{1}{8}(3)^k - \frac{1}{8}(-5)^k$

Si alguien tiene que corrió a través de hágamelo saber lo que se encuentra, pero yo soy de ninguna manera preguntando a los chicos a hacer eso. Es un montón de trabajo para ayudar un poco al azar estudiante de la universidad.

Answer 1

Desde que usted escribió "no tengo idea de donde la $Br^k$ es proveniente de" y desde Mhenni la solución, aunque es perfectamente correcto, dijo a "asumir" una solución de este tipo, creo que el siguiente puede ayudar. En general, existe un teorema que describen las soluciones de recurrencias lineales de la forma $X(n)=a_1X(n-1)+a_2X(n-2)+\dots+a_mX(n-m)$ donde $m$ es fijo (en sus ejemplos es $2$) y el $a_i$ son constantes. Parte del teorema dice que, si no se $m$ soluciones de la forma especial de $X(n)=r^n$ $m$ diferentes valores de $r$, entonces cada solución se puede obtener como combinación lineal de estos $m$ soluciones especiales. (También hay información en el teorema acerca de ¿qué pasa si no $m$ diferentes soluciones de forma especial, pero que la información adicional no es relevante para sus ejemplos, así que voy a posponer para el último párrafo de esta respuesta.)

En vista de esto (parte de la) teorema, puede atacar de relaciones de recurrencia de este tipo por primera tratando de encontrar soluciones fuera de la forma especial de $X(n)=r^n$. El enchufe de modo que esta $X(n)$ en la recurrencia, dejando $r$ no especificado por el momento. Usted obtiene una ecuación que se simplifica a $r^m=a_1r^{m-1}+a_2r^{m-2}+\dots+a_m$. Esta es una ecuación polinómica de grado $m$ de la incógnita $r$. Si ha $m$ soluciones diferentes (como lo hace en sus ejemplos), entonces usted gana. Usted tiene suficiente soluciones especiales $X(n)=r^n$, uno para cada solución de $r$, para invocar el teorema general. Cualquier solución es una combinación lineal, con algunas constantes los coeficientes de estas $m$ soluciones especiales. Usted puede determinar los coeficientes utilizando las condiciones iniciales que se dieron con la recursividad de la ecuación. Esta parte del trabajo es bastante sencillo, ya que se trata de resolver un sistema lineal de ecuaciones para los coeficientes desconocidos.

Si $r^m=a_1r^{m-1}+a_2r^{m-2}+\dots+a_m$ tiene menos de $m$ distintas raíces, ya que algunas de las raíces tiene multiplicidad mayor que $1$, entonces su recurrencia tiene soluciones adicionales de la forma $X(n)=n^jr^n$ donde $j$ rangos de $0$ hasta, pero no incluyendo la multiplicidad de la raíz $r$.

Answer 2

Un problema relacionado. Aquí es un comienzo. Acaba de asumir su solución de $P_n=r^n$ y el enchufe en la parte de atrás en la eq. para encontrar $r$

$$ P_{n} = -2P_{n-1} + 15P_{n-2} \implies r^n+2r^{n-1}-15r^{n-2}=0 $$

$$ \implies r^{n-2}(r^2+2r-15)=0 \implies r^2+2r-15=0 $$

Encontrar las raíces del polinomio por encima de $r_1, r_2$ y la construcción de la solución general

$$ P(n)=c_1 r_1^n + c_2 r_2^n \longrightarrow (*) $$

Para encontrar$c_1$$c_2$, sólo el uso de $P_0=0$ $P_1=1$ $(*)$ para obtener dos ecuaciones en $c_1$$c_2$. Una vez que encuentres $c_1$ $c_2$ enchufe de nuevo en $(*)$ y esta va a ser la solución que se requiere.