El mundial de reciprocidad mapa mata el discreto copia de $K^\times$, por lo que podemos pensar en él como un continuo homomorphism $\psi:C_K\rightarrow\mathrm{Gal}(K^{ab}/K)$.
En el campo número de caso, $\psi$ es surjective (usando la compacidad de la norma-$1$ idele grupo de clase y la continua idelic norma mapa), pero no inyectiva. Su núcleo es la identidad de los componentes de $C_K$, que es la intersección de todos los subgrupos de índice finito.
Por eso, $\psi$ no es bijective. ¿Qué es bijective es la inducida por el mapa continuo de la profinite finalización de $C_K$ $\mathrm{Gal}(K^{ab}/K)$ (que es un homeomorphism porque es bijective y continua con el compacto de origen y de Hausdorff de destino). El punto es que el mapa de $C_K$ a su profinite completo, el cual, por definición, tiene kernel igual a la intersección de todos los subgrupos de índice finito, no es inyectiva, es decir, la mencionada intersección no es trivial.
Las pruebas de estas afirmaciones se puede encontrar, por ejemplo, en el Artin-Tate notas en clase la teoría de campo. El capítulo 9 es acerca de la identidad de componentes, pero el hecho de que es el núcleo de la reciprocidad mapa en realidad podría ser probado en algún lugar en el posterior capítulo acerca de la clase abstracta formaciones. No tengo acceso al libro ahora mismo, así que no puedo decir exactamente donde está, pero sé que está ahí.
