Un orden parcial con propiedades especificadas

Question

He de decir que dos elementos de la $a$ $b$ de un poset son de intersección ($a\not\asymp b$) cuando no existe no menos el elemento $c$ tal que $c\le a$$c\le b$.

Deje $\ge_0$ ser de un orden parcial en un conjunto $\mho$ (podemos, además, requieren para ser un distributiva de celosía o lo que sea, si esta ayuda). Deje $N$ ser un conjunto de índices.

Hay un orden parcial $\ge_1$ $\mho^N$ tal que $$X\not\asymp_1 Y \Leftrightarrow \forall i\in N:X_i\not\asymp_0 Y_i.$$

Si es un orden parcial no existe, que tipo de relación puede ser? (tal vez un preorder o lo que sea?)

Answer 1

Para $a,b$ en un poset $P$ con orden parcial $\le$, vamos $$\text{prec}^P_{\le}(a,b):=\{c\in P:c\le a,c\le b\}.$$ Then $un\no\asymp b$ if and only if there is some non-least element of $P$ in $\text{prec}^P_{\le}(a,b)$. If $P$ has no least element, then $\no\asymp b$ if and only if $\text{prec}^P_{\le}(a,b)\ne\emptyset$.

Ahora, supongamos que $\mho$ tiene no $\le_0$-menos de elemento (voy a pensar en el caso de que no lo hace). Vamos a definir $\le_1$ $\mho^N$ $X\le_1 Y$ fib para todos $i\in N$, $X_i\le_0 Y_i$. A continuación, $\le_1$ es fácil de ver para ser reflexiva, transitiva y antisimétrica (desde $\le_0$ es). Nota además de que $\mho^N$ no $\le_1$-menos elementos, ya $\mho$ no $\le_0$-menos de elemento.

Ahora, para cualquier $X,Y\in\mho^N$, tenemos

$$\begin{align}X\not\asymp_1 Y &\Longleftrightarrow \exists Z\in\text{prec}^{\mho^N}_{\le_1}(X,Y)\\ &\Longleftrightarrow \exists Z\in\mho^N:(Z\le_1 X)\wedge(Z\le_1 Y)\\ &\Longleftrightarrow \exists Z\in\mho^N:\: \forall i\in N(Z_i\le_0 X_i)\wedge(Z_i\le_0 Y_i)\\ &\Longleftrightarrow \exists Z\in\mho^N: \forall i\in N (Z_i\in\text{prec}_{\le_0}^\mho(X_i,Y_i))\\ &\overset{*}\Longrightarrow \forall i\in N\:\exists Z_i\in\text{prec}_{\le_0}^\mho(X_i,Y_i)\\ &\Longleftrightarrow \forall i\in N\: (X_i\not\asymp_0 Y_i).\end{align}$$ The converse of the starred implication holds for all index sets $N$ if (and I suspect only if) the Axiom of Choice for subsets of $\mho$. (Por supuesto, si usted está bien usar el Axioma de Elección, entonces esto no es problema para usted.)

Editar

Podemos extender la anterior para los casos en que $N=\emptyset$ o $\mho$ es un singleton, en cualquiera de los casos tenemos $\mho^N$ un singleton, y el único no-vacía la relación en $\mho^N$ será necesariamente satisfacen las propiedades deseadas. (Por qué?) También, si $\mho=\emptyset$$N\ne\emptyset$,$\mho^N=\emptyset$, y la única relación en $\mho^N$ vacuously satisface las propiedades deseadas. Por último, si $N$ es un singleton, a continuación, $\mho^N$ es eficaz sólo $\mho$, y la relación está claramente definida.

Tenga en cuenta que para cualquier poset $\langle P,\le\rangle$ $a\in P,$ tenemos $a\not\asymp a$ si y sólo si $a$ no es la $\le$-menos de elemento de $P$.

Supongamos que $\mho,N$ tiene más de un elemento y que $\mho$ $\le_0$- menos de elemento. Entonces no hay un orden parcial $\le_1$ $\mho^N$ con la propiedad deseada. De hecho, tome $j,k\in N$ distintos, vamos a $x_0$ $\le_0$- menos de elemento de $\mho$, y deje $x$ ser cualquier otro elemento de $\mho$. Definir $X,Y\in\mho^N$ por $$X_i=\begin{cases}x_0 & i=j\\x & \text{otherwise}\end{cases}$$ and $$Y_i=\begin{cases}x_0 & i=k\\x & \text{otherwise.}\end{cases}$$

Desde $j\ne k$,$X\ne Y$, lo que para cualquier orden parcial $\le_1$$\mho^N$, sabemos que al menos uno de $X,Y$ no es la $\le_1$-menos de elemento de $\mho^N$ (puede ser que no exista $\le_1$-menos elemento en todo, pero eso no importa). Sin pérdida de generalidad, supongamos que $X\not\le_1 Z$ algunos $Z\in\mho^N$. A continuación,$X\not\asymp_1 X$, pero no en el caso de que $X_j\not\asymp_0X_j,$ desde $X_j=x_0$ $\le_0$- menos de elemento de $\mho$.

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Voy a pensar más acerca de cómo podemos relajar los requisitos de la en $\le_1$ a un preorder o algo más, pero antes de que pueda contestar que definitivamente, voy a tener que contestar a las siguientes:

En el contexto de un conjunto $X$, con una relación $\le$ que no es un orden parcial en $X$, ¿qué quieres decir con "no menos de elemento de $X$"? ¿Usted simplemente quiere decir que un $x\in X$ tal que $\exists y\in X:x\not\le y$? Si $\le$ es, en particular, no antisimétrica, y existen distintas $x_1,x_2\in X$ tal que $\forall y\in X((x_1\le y)\vee(x_2\le y))$, diría usted que $x_1,x_2$ ambos $\le$-menos elementos de $X$, o que $X$ no $\le$-menos elementos?

Si no sé que, yo no puedo muy bien averiguar lo $\not\asymp$ medios en general.