La topología débil de un producto

Question

Deje $E$ $F$ ser normativa espacios vectoriales y deje $E^{\sigma}$, resp. $F^{\sigma}$ $E$ , resp. $F$ con la topología débil asociados con los elementos de los duales $E^*$, resp. $F^*$. Entonces, para $(E\times F)^{\sigma}$, siendo la $E \times F$ con el débil topología inducida por los elementos de la $(E\times F)^*$, al parecer, uno debe tener ese $E^{\sigma}\times F^{\sigma}=(E\times F)^{\sigma}$ (no estoy seguro adicional acerca de las condiciones en $E$$F$, tal vez debe ser de Banach). He establecido que $\Pi : E^*\times F^*\longrightarrow (E\times F)^*$, con $\Pi(f,g)(x,y)= f(x)+g(y), \forall (x,y) \in E \times F$, $\forall (f,g) \in E^* \times F^*$ es un homeomorphism, pero después de eso, me quedé sin ideas. Hay alguien por ahí con un lugar elegante explicación? Para evitar más spam, muchas gracias de antemano.

Answer 1

Deje $(e_i,f_i)_i$ ser un netos en $E^\sigma\times F^\sigma$ convergentes a$(0,0)$$T\in (E\times F)^\star$. Por lo que se han establecido, $T=\prod (R,S)$ algunos $R\in E^\star, S\in F^\star$. Pero como $R(e_i)$ $S(f_i)$ son ambas convergentes a $0$, $R(e_i)+S(f_i) = T(e_i,f_i)$ converge a$0$.

Por el contrario, supongamos $(e_i, f_i)_i$ converge a$(0,0)$$(E\times F)^\sigma$. Para $T\in E^\star$, definir $S_T(e,f) = T(e)$, lo $S_T \in (E\times F)^\star$. A continuación, $T(e_i) = S_T(e_i,f_i)$ converge a $0$, por lo que la proyección de $(e_i,f_i)$ en la primera coordenada $E^\sigma$ es continua. Del mismo modo de proceder para la segunda coordenada, llegar a la conclusión de $(e_i,f_i)\to 0$ $E^\sigma\times F^\sigma$ .

Esencialmente, usted ya había hecho el paso principal.