¿Calcular el área del triángulo?

Question

¿Cuál es el área del triángulo en el que dos de sus medians son 9 cm y 12 cm de largo que se cruzan en el ángulo recto?

He probado esto pero no se pudo obtener la respuesta.

¿El triángulo también será correcto ángulo si la mediana se cruzan en el triángulo rectángulo?

Gracias de antemano.

Answer 1

Deje que nuestro triángulo $ABC$, y dejar que los dos medianas ser $AM$ (de longitud $12$) y $BN$ (de longitud $9$), encuentro en el centroide $X$. Recordemos que el centroide de un triángulo divide a cada mediana en las proporciones $2:1$. De ello se desprende que $\triangle ABX$ es en ángulo recto en $X$ e ha "piernas" $8$$6$. Por lo tanto $\triangle ABX$ área $24$.

Pero el área de $\triangle ABX$ es un tercio del área de $\triangle ABC$, ya que los dos triángulos que comparten una base $AB$, y la mediana de $C$ se divide por $X$ en la proporción $2:1$, lo que supone que la altura de $\triangle ABC$ $3$ veces la altura de $\triangle ABX$. Por lo $\triangle ABC$ área $72$.

De otra manera: Aquí es más simple, pero menos simétrica. Deje $AM=12$$BN=9$. A continuación,$BX=6$, lo $\triangle ABM$ área $(12)(6)/2=36$. De ello se desprende que $\triangle ABC$ área $72$.

De otra manera: Dibujar todas las medianeras. Ellos dividen el triángulo en $6$ triángulos de igual área. Pero uno de ellos, $\triangle MXB$, es en ángulo recto en $X$ y tiene las piernas $4$$6$, así que el área $12$.

Nota: Parte de tu pregunta de si el triángulo original es en ángulo recto. No, no. El cálculo muestra que $\triangle ABC$ con $AB=10$, $BC=4\sqrt{13}$, y $CA=2\sqrt{73}$ es el único triángulo que tiene los camellones de la longitud de la $12$ $9$ reunión en ángulos rectos. Este triángulo no está en ángulo recto.

Answer 2

Considere el siguiente triángulo: $|\overline{AC}|=2|\overline{AE}|$$|\overline{AB}|=2|\overline{AD}|$.

Por SAS (lado-ángulo-lado), $\triangle ADE\sim\triangle ABC$. Por lo tanto, $\overline{DE}||\overline{BC}$$|\overline{BC}|=2|\overline{DE}|$.

Desde $\angle DEB=\angle EBC$$\angle EDC=\angle DCB$, ASA (ángulo-lado-ángulo) los rendimientos $\triangle FED\sim\triangle FBC$.

Por lo tanto, $|\overline{FB}|=2|\overline{EF}|$$|\overline{FC}|=2|\overline{DF}|$. Por lo tanto, las longitudes se muestran en la tabla. Desde todos los ángulos en $F$ son de la derecha, tenemos que $|\triangle BEC|=\frac128\cdot9=36$. La altitud de $\triangle ABC$ es el doble que la de $\triangle BEC$, lo $|\triangle ABC|=72$.

$\hspace{3.5cm}$

Ahora que he publicado esto, veo que es el mismo como André Nicolás segundo método (en la interna de un triángulo). Lo voy a dejar porque del diagrama.