homotopía categórica colimits

Question

deje $hTop_*$ denotar la homotopy categoría de punta espacios. Yo creo que no tiene pushouts, en general. la razón es que usted no puede esperar que los involucrados homotopies a ser compatible. ¿alguien puede dar un ejemplo claro, con la prueba? Sé que homotopy colimits están relacionados con esto, pero que no parecen ser categórico colimits, así que no creo que encajan aquí.

especialmente estoy interesado en el siguiente caso especial: vamos a $G= \langle X | R \rangle$ una presentación de un grupo y considerar el mapa resultante $\omega : \vee_{r \in R} S^1 \to \vee_{x \in X} S^1$. ¿el cokernel de $\omega$ existen en $hTop_*$? en $Top_*$, el cokernel es justo considerar la 2-dimensional de CW-complejo de $Q$, que es optained de $\vee_{x \in X} S^1$ a través de la fijación de mapa de $\omega$. ahora si $f : \vee_{x \in X} S^1 \to T$ es una punta del mapa tal que $f \omega$ es nullhomotopic, es fácil ver que se extiende a un mapa de $\overline{f} : Q \to T$. pero creo que no podemos esperar que $\overline{f}, \overline{g}$ son homotópica, al $f,g$ son homotópica: el homotopies entre el $f$ $g$ no tienen que ser compatibles. puede dar un ejemplo para que? probablemente ya funciona para $\omega : S^1 \to S^1, z \mapsto z^2$, lo $Q = \mathbb{R} P^2$.

de todos modos, esto sólo demuestra que es $Q$ no es el cokernel en la categoría de $hTop_*$. la prueba, que la cokernel no existe en absoluto, será aún más difícil y no sé cómo abordarlo.

también se puede reemplazar la categoría por $hCW_*$ (CW-complejos), $hCG_*$ (compacty generado espacios), etc., si es útil.

Answer 1

Un ejemplo es el siguiente: El impulso de $D^2\hookleftarrow S^1 \hookrightarrow D^2$, donde las flechas de los límites de las inclusiones, parece ser $S^2$. Ahora en $hTop_*$ el dos de 2 discos de $D^2$ representan el mismo objeto como el punto de $*$, por lo que el diagrama de $*\hookleftarrow S^1 \hookrightarrow *$ es el mismo en $hTop$ y su empuje sería el homotopy clase de un punto, sino $S^2\not\sim *$. Homotopy colimits no son categóricos, pero hacer uso de la estructura del modelo y te dicen cómo construir "homotopy-correcta" colimits en su modelo de la estructura. Creo que esta es una de las principales razones por las que uno es feliz, no sólo la existencia de una cierta homotopy categoría, sino también de la estructura del modelo en el localizador. Así que usted puede hacer los cálculos en el modelo de la categoría con la ayuda de la estructura del modelo y ver los resultados en la homotopy categoría.

Answer 2

Su ejemplo (el "cokernel" de la multiplicación por 2 mapa) también funciona.

Considere el diagrama de $S^1 \leftarrow S^1 \rightarrow D^2$ en la base de homotopy categoría de CW-complejos, donde el lado izquierdo del mapa es la multiplicación por 2. Supongo que había un pushout $X$ en el homotopy categoría. A continuación, para cualquier $Y$, $[X,Y]$ es isomorfo al conjunto de 2-torsión de los elementos en $\pi_1(Y)$.

Tomando $Y = S^0$, nos encontramos con $X$ está conectado.

Tomando $Y = K(\pi,1)$, nos encontramos con que $\pi_1(X)$ debe ser isomorfo a $\mathbb{Z}/2$. Esto significa que hay un mapa de ${\mathbb{RP}^2}$ $X$la inducción de un isomorfismo en $\pi_1$, y que hay un mapa $X \to K(\mathbb{Z}/2,1)$ que también induce un isomorfismo en $\pi_1$.

Neto resultado, se obtiene un compuesto de la secuencia de mapas de $\mathbb{RP}^2 \to X \to \mathbb{RP}^\infty \to \mathbb{CP}^\infty$. El espacio al final simplemente se conecta, por lo que el mapa de $X$ sería nullhomotopic y, por tanto, también lo haría el mapa de $\mathbb{RP}^2$.

Sin embargo, la combinación de los dos primeros mapas es un isomorfismo en $\pi_1$, por lo tanto en $H_1$. Mirando inducida por los mapas en la segunda cohomology grupo $H^2$, se obtiene la secuencia de mapas: $$\mathbb{Z}/2 \leftarrow H^2(X) \leftarrow \mathbb{Z}/2 \leftarrow \mathbb{Z}$$ El de más a la derecha del mapa es surjective, el compuesto de las dos de la izquierda de los mapas es un isomorfismo por el universal coeficiente de teorema, y el compuesto de los dos mapas de más a la derecha se supone que nullhomotopic y, por tanto, cero. Contradicción.

Answer 3

Voy a trabajar en CW-complejos.

Considere el diagrama de $S^1_+ \leftarrow *_+ \rightarrow S^1_+$ donde $X_+$ denota $X$ con un distinto punto de base añadido. Homotopy clases de mapas de $*_+ \to Y$ son componentes de la ruta de $Y$, y homotopy clases de mapas de $S^1_+ \to Y$ son una selección de componente de la ruta y un conjugacy clase de elemento de $\pi_1$ de ese componente de la ruta. Por lo tanto, si este diagrama tiene un pushout en el homotopy categoría de base de espacios (co?)representa el functor el envío de $Y$ a una elección de ruta componente y un par de clases conjugacy en el mismo componente de la ruta.

Supongamos que tenemos una representación de objeto $X$. Considerando $[X,S^0]$, nos encontramos con $X$ tiene sólo dos componentes de la ruta. Por lo $X = X_0 \coprod X_1$ donde $X_0$ es el punto de base del componente. Cada componente se puede, hasta homotopy de equivalencia, se construye como un CW-complejo con un cero de células, algunas de la familia, de 1 de las células, y algunos de la familia de 2 células.

Considere la posibilidad de $[X, K(\pi,1)_+]$ $\pi$ un grupo. Una descripción de la celda de $X$ da lugar a una descripción de este functor: un elemento de $[X, K(\pi,1)]_+$ es trivial (si $X_1$ mapas para el punto de base) o es una clase conjugacy de homorphism $\pi_1(X_1) \to \pi$, debido a que los mapas en $X_1$ no están restringidos a punto de base-la preservación de homotopies.

Por lo que es suficiente para mostrar que no hay grupos $G$, de modo que las clases conjugacy de homomorphism $G \to \pi$ natural bijective correspondencia con los pares de clases conjugacy de elementos de $\pi$.

EDIT: Arreglado el siguiente argumento.

Dado un grupo de $G$, el mapa de identidad determina un par de clases conjugacy $[x], [y]$$G$, y la elección de los representantes $x$ $y$ determina un grupo de homomorphism $F_2 \to G$. Por el contrario, las clases conjugacy de los generadores de $F_2$ determinar un mapa de $G \to F_2$ dividir este mapa hasta conjugacy. Esto implicaría que el natural tranformation el envío simultáneo de clases conjugacy de pares de pares de clases conjugacy es una inclusión, lo cual es falso, por ejemplo, en el grupo simétrico de 3 cartas hay 9 pares de clases conjugacy y (suponiendo que yo contabilizado correctamente) 11 simultánea conjugacy clases de pares.