La idea es simple : empezar desde el final de la $\,\frac{k\,(k+1)}2\,$ términos y considerar el complemento de a $k+1$ de cada término para obtener la secuencia :$$\tag{0}\underbrace{1}_1,\underbrace{2,2}_2,\underbrace{3,3,3}_3,4,\cdots,\underbrace{k,k,k,\ldots, k}_{k\,\text{terms}}$$
Vamos a observar que los valores de cada sub-bloque se $n$ sólo si el índice pertenece a $(T_n,T_{n+1}]$
con $\,T_n:=1+2+3+\cdots+n=\dfrac {n\,(n+1)}2\;$ $n$- th "Triangular número".
El truco descubierto por Euler? Ver Triangular número y la Wikipedia referencia $6$...) es a la inversa $T_n=\dfrac {n\,(n+1)}2$ para obtener :
$$8\,T_n=4n^2+4n=(2n+1)^2-1$$
y la expresión de $n$ en función de $\,T_n\,$ :
$$\tag{1} n=\frac{\sqrt{8\,T_n+1}-1}2$$
En este punto tenemos que ser cuidadosos porque el valor de $n$ debe ser obtenida para cada índice $i$ pertenecientes a $(T_n,T_{n+1}]\,$ que vamos a reescribir como $\;(i-1)\in[T_n,\,T_{n+1})\,$.
De $(1)$ y el hecho de que el límite superior $\,\displaystyle n+1=\frac{\sqrt{8\,T_n+1}+1}2\,$ no será alcanzado (desde $\,i-1<T_{n+1}$) podemos deducir la fórmula correcta para $n$ en función del índice de $i$$(0)$ :
$$\tag{2} n=\left\lfloor\frac{\sqrt{8\,(i-1)+1}+1}2\right\rfloor$$
Queda para revertir el proceso inicial :
- inicio de la final (en sustitución de $i$$\frac{k(k+1)}{2}+1-i\;$)
- tomar la complentary a $k+1$ de todos los valores
para concluir :
$$\tag{3}L_k(i) = k+1 - \left\lfloor \tfrac{1}{2}\left( 1 + \sqrt{1+8\left( \tfrac{k(k+1)}{2} - i\right)}\right) \right\rfloor.$$
(corregir un poco su fórmula inicial, posiblemente, obtenidos mediante la planta de $(1)$...)
ADDITION2: en Lugar de aplicar la función del suelo a $(1)$ le podría haber considerado el ceil función y obtuvo más directamente :
$$\tag{2'} n=\left\lceil\frac{\sqrt{8\,i+1}-1}2\right\rceil$$
(esto significa que después de reemplazar el piso por el ceil función de su expresión será correcta !)
ADEMÁS: OEIS A002024 tiene una fórmula más simple para $(2)$ con algunas referencias interesantes :
$$\tag{2''} n=\left\lfloor\sqrt{2\,i}+1/2\right\rfloor$$
que debe proporcionar una respuesta más breve de $(3)$ y que... voy a dejar de probar ! :-)
